基于LQR-QPSO的地下铲运机控制参数优化研究

图1 地下铲运机稳态转向与原地转向模型

Fig.1 Steady-state steering and in-place steering model of underground load-haul-dump unit

根据几何关系可得出地下铲运机的位姿状态 $P_{f}$ （赵翾等，2015）：

[\begin{matrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ {\dot{θ}}_{f} \\ \dot{γ} \end{matrix}] = [\begin{matrix} c o s θ_{f} \\ s i n θ_{f} \\ \frac{s i n γ}{L_{f} c o s γ + L_{r}} \\ 0 \end{matrix}] v_{f} + [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \frac{L_{r}}{L_{f} c o s γ + L_{r}} \\ 1 \end{matrix}] \dot{γ}

（1）

式中： $\dot{x}$ 、 $\dot{y} 分别为速度 v_{f} 在 x 、 y 轴方向上的分速度$ ； ${\dot{θ}}_{f} 为航向角对时间的一阶导数; \dot{γ} 为铰接角速度$ 。

1.2 运动轨迹描述与误差动力学模型

地下铲运机在行驶过程中的轨迹如图2所示。建立以巷道路面为坐标平面的正交系，一段时间内，定位参考点P移动所形成的曲线B即为地下铲运机行驶过的实际路径。曲线A为路径规划模块给出的期望路径，点P在期望路径A上的投影点P_e即为地下铲运机的瞬时期望参考点，瞬时期望参考点的速度 $v_{e}$ 与期望路径A相切， $v_{e}$ 与X轴的夹角θ_e为该时刻的期望航向角。

图2

图2 地下铲运机运动轨迹示意图

注： $P_{e}$ 、 $P$ 为期望瞬时期望参考点和实际定位参考点；曲线 $A$ 、 $B$ 为期望路径和实际路径； $O_{e}$ 、 $O$ 为期望转向中心和实际转向中心； $v_{e}$ 、 $v$ 为期望速度和实际速度； $θ_{e}$ 、 $θ_{f}$ 为期望航向角和实际航向角

Fig.2 Schematic diagram of movement track of underground load-haul-dump unit

由于井下巷道狭窄，地下铲运机只能在与巷道两帮距离较近的情况下低速行驶，因此对于地下铲运机铰接转向角的实时控制，是路径跟踪过程中的重点。为实现巷道内地下铲运机的路径跟踪，本文选择地下铲运机铰接转向角和车速作为控制变量，基于其行驶的实际路径和期望路径建立如图3所示的误差动力学模型。

图3

图3 地下铲运机误差动力学模型示意图

注： $P_{e}$ 、 $P$ 为期望瞬时期望参考点和实际定位参考点； $P_{e}^{'}$ 、 $P^{'}$ 为下一时刻期望瞬时期望参考点和实际定位参考点； $O_{e}$ 、 $O$ 为短时间内期望转向中心和实际转向中心； $ε_{θ}$ 、 $ε_{d}$ 为航向角偏差与横向位置偏差； $ε_{θ}^{'}$ 、 $ε_{d}^{'}$ 为下一时刻的航向角偏差与横向位置偏差； $d θ$ 、 $d ε_{d}$ 为航向角变化和横向位置偏差变化

Fig.3 Schematic diagram of error dynamic model of underground load-haul-dump unit

瞬时航向角θ_f与期望航向角θ_e的差值为航向角偏差ε_θ；地下铲运机定位参考点P与期望参考点P_e之间的距离为横向偏差量ε_d（以参考点P在期望路径右侧时为正）；点P和期望参考点P_e处的曲率差值为曲率偏差ε，则有（Ridley et al.，2003）：

[\begin{matrix} {\dot{ε}}_{d} \\ {\dot{ε}}_{θ} \\ {\dot{ε}}_{c} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & v & 0 \\ 0 & 0 & v \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} ε_{d} \\ ε_{θ} \\ ε_{c} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{L} \end{matrix}] \dot{γ} + [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \frac{L_{r}}{v L} \end{matrix}] \ddot{γ}

（2）

式中：L为铲运机前后桥的距离，即L=L_f+L_r。

考虑到地下铲运机较低的车速和较小的铰接转向角变化幅度，铰接转向角速度变化率在实际问题中几乎可以忽略不计。简化式（2）得到（Ridley et al.，2003）：

[\begin{matrix} {\dot{ε}}_{d} \\ {\dot{ε}}_{θ} \\ {\dot{ε}}_{c} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & v & 0 \\ 0 & 0 & v \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} ε_{d} \\ ε_{θ} \\ ε_{c} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 \\ \frac{L_{r}}{L} \\ \frac{1}{L} \end{matrix}] \dot{γ}

（3）

由此，可结合LQR状态反馈控制器，以铰接角速度 $\dot{γ}$ 实现对地下铲运机的轨迹跟踪横向控制。

2 LQR控制器及其参数优化

2.1 LQR控制器

LQR理论是现代控制理论中率先提出、发展较完善的一种状态空间设计方法。LQR的控制系统基于状态空间方程建立，将控制系统的状态变量和输入的控制变量的二次型函数作为性能指标函数，可以在系统失稳时，使得系统状态的多个分量在接近平衡状态的同时，不消耗过多的控制能量（李国勇，2008）。由于地下铲运机车身自由度高，地下矿山无人驾驶场景复杂，环境噪声信号较高，选择 LQR用于地下铲运机路径跟踪过程中对铰接转向角的控制具有突出优势。

受控系统的状态空间可由式（4）给出：

\{\begin{matrix} \dot{X} (t) = A X (t) + B u (t) \\ Y (t) = C X (t) + D u (t) \end{matrix}

（4）

LQR需要得到状态反馈控制向量矩阵 $K$ ： $U (t) = - K X (t)$ ，使得式（5）性能指标 $J$ 最小化（邹忱忱，2017）：

J = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} [X {(t)}^{T} Q X (t) + u {(t)}^{T} R u (t)] d t

（5）

式中：X（t）为n维系统状态向量；u（t）为m维输入向量；Y（t）为p维输出向量。状态矩阵A∈Rⁿ^×ⁿ；控制矩阵B∈Rⁿ^×^m；前馈矩阵D∈R^m^×ⁿ；状态变量加权矩阵Q∈Rⁿ^×ⁿ；控制变量加权矩阵R∈R^m^×^m。

以阿特拉斯公司出产的某型号地下铲运机为参考，其相关参数如表1所示。

表1 地下铲运机车身几何参数

Table 1 Body geometry parameter of underground load-haul-dump unit

参数名称	数值
前桥至铰接点距离 $L_{f} / m$	1.755
后桥至铰接点距离 $L_{r} / m$	1.855
车身宽度 $W / m$	2.26
轮胎直径 $d / m$	1.30
最大满载速度 $v_{m a x} / (m \cdot s^{- 1})$	6.92
铰接转向角范围 $γ / r a d$	0.25π
最大铰接转向角速度 ${\dot{γ}}_{m a x} / (r a d \cdot s^{- 1})$	0.15

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根据式（4）有：

\begin{array}{l} A = [\begin{matrix} 0 & 6.92 & 0 \\ 0 & 0 & 6.92 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 0 \\ \frac{1.855}{3.61} \\ \frac{1}{3.61} \end{matrix}], \\ C = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}], D = 0 \end{array}

（6）

由此进行可控可观性验证：

\{\begin{matrix} r a n k [\begin{matrix} B & A B & A^{2} B \end{matrix}] = 3 \\ r a n k [\begin{matrix} C & C A & C A^{2} \end{matrix}] = 3 \end{matrix}

（7）

以上矩阵满秩，证明该系统可控可观，可以通过控制铰接转向角速度，减小地下铲运机路径跟踪过程中产生的各偏差量。铲运机的LQR控制器模型为

\{\begin{matrix} \dot{u} (t) = A ε (t) + B \dot{γ} \\ Y (t) = ε (t) \end{matrix}

（8）

性能指标：

J = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} [ε {(t)}^{T} Q ε (t) + \dot{γ} {(t)}^{T} R \dot{γ} (t)] d t

（9）

在地下铲运机驾驶过程中，如果存在某个铰接转向角速度值U使得偏差得以修正，同时所消耗的控制能量最小，即性能指标J最小，则称U=u（t）为该系统的最优控制。由线性最优反馈增益矩阵K有

U = - K X (t) = - R^{- 1} B^{T} X (t)

（10）

其中矩阵P是黎卡蒂（Riccati）方程的解，其表达式为

A^{T} P + P A - P B R^{- 1} B^{T} P + Q = 0

（11）

求解后可得到𝑃值和线性最优反馈增益矩阵𝐾值，其表达式如下：

K = R^{- 1} B^{T} P = {[k_{1} k_{2} k_{3}]}^{T}

（12）

代入式（10）后，即可求得最优控制量U作为铰接转向角速度 $\dot{γ}$ 。

2.2 粒子群算法优化

由式（5）和式（10）可知，LQR控制中性能指标J和线性最优反馈增益矩阵K的求解与加权矩阵Q和R的选取紧密相关。这2个矩阵内参数的选取，会直接影响到地下铲运机在井下无人驾驶过程中路径跟踪的实际效果。

粒子群算法（PSO）由生物学家Kennedy et al.（1995）提出，因具有参数较少、算法便于实现的优点和优良的优化性能而成为科研和工业应用领域的研究热点（方伟等，2010）。Shi et al.（1998）将惯性权重 $w$ 引入了粒子群算法，再结合线性递减权重策略，可以获得更好的寻优结果，所建立的标准形式粒子群算法（刘洪波等，2006）的粒子更新公式［式（13）］及权重策略［式（14）］如下：

\{\begin{matrix} V_{i} = w V_{i} + c_{1} r a n d () (p_{b e s t} - X_{i}) + c_{2} r a n d () (g_{b e s t} - X_{i}) \\ X_{i} = X_{i} + V_{i} \end{matrix}

（13）

W = (w_{i n i} - w_{e n d}) \cdot \frac{G_{k} - g}{G_{k}} + w_{e n d}

（14）

式中：X_i和V_i分别为搜索空间中第i个粒子的位置和速度；p_best和g_best分别为粒子和群体的历史最优秀位置；rand（）是介于（0，1）之间的随机数； $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 为学习因子； $G_{k}$ 为最大迭代次数；𝑔为当前迭代次数； $w_{i n i}$ 和 $w_{e n d}$ 分别为初始惯性权重和迭代至最大次数时的惯性权重。

Sun et al.（2004）将量子力学的部分概念引入粒子群算法，提出了量子行为粒子群优化算法（QPSO）。在QPSO中，引入粒子的平均历史最优位置 $m_{b e s t}$ ，表示粒子群内各粒子个体历史最优位置 $p_{b e s t}$ 的平均值，其表达式为

m_{b e s t} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} {p_{b e s t}}_{i}

（15）

式中：N为粒子群的种群大小；p_best_i为本次迭代中第 $i$ 个粒子的个体历史最优位置。

粒子的位置更新按照式（16）完成：

\{\begin{matrix} P_{i} = Φ \cdot {p_{b e s t}}_{i} + (1 - Φ) \cdot {g_{b e s t}}_{i} \\ X_{i} = P_{i} \pm α |m_{b e s t} - X_{i}| \cdot l n (\frac{1}{u}) \end{matrix}

（16）

式中：Φ和u均为（0，1）均匀分布的随机变量，取正值和负值的概率各为50%。式中唯一的控制参数 $α$ 称为“收缩—扩张系数”，在量子行为粒子群算法中，单个粒子的收敛性受这一参数的影响。

标准粒子群及其改进算法的基本流程如图4所示。其中，PSO的粒子状态包含粒子速度和位置，QPSO算法只包含粒子位置。

图4

图4 粒子群优化算法流程图

Fig.4 Flow chart of particle swarm optimization algorithm

为保持地下铲运机在相对平稳的行驶过程中，受控系统的性能指标J较小，先对加权矩阵Q和R进行初步设置，再经由粒子群算法及其改进算法对其进行参数优化。结合上文给出状态变量X_（_t_）=［ε_dε_θε_c］^T和控制变量u_（_t_）= $\dot{γ}$ ，状态变量加权矩阵Q为3×3的半正定矩阵，控制变量加权矩阵R为常数正定矩阵。为简化参数优化过程，并且使得Q中各元素与各偏差量具有明确的对应关系，可将Q设为对角矩阵，R中常数设置为1，即：

Q = [\begin{matrix} q_{1} & 0 & 0 \\ 0 & q_{2} & 0 \\ 0 & 0 & q_{3} \end{matrix}]

（17）

R = [1]

（18）

性能指标J的大小反映了当前控制量铰接转向角速度 $\dot{γ}$ 的优良程度，但由于在实际过程中对相关数值的采样是在离散的时间点进行的，故以式（9）中积分项的累加之和作为适应度函数：

f i t n e s s_{i} = \sum_{t = 1}^{T} q_{1} ε_{d (t)}^{2} + q_{2} ε_{θ (t)}^{2} + q_{3} ε_{c (t)}^{2} + {\dot{γ}}_{(t)}^{2}

（19）

式中：t为当前采样时刻； $ε_{d}$ 、 $ε_{θ}$ 、 $ε_{c}$ 分别为横向位置偏差、航向角偏差和曲率偏差； $q_{1}$ 、 $q_{2}$ 、 $q_{3}$ 为状态变量加权矩阵 $Q$ 对角线上的值。

由此，可建立如图5所示的LQR-QPSO路径跟踪控制器。

图5

图5 LQR-QPSO路径跟踪控制器

Fig.5 LQR-QPSO path tracking controller

3 仿真试验

利用MATLAB仿真来验证本文提出的路径跟踪控制器的有效性和性能。铲运机车体的相关参数见表1。试验参考路径基于某矿山巷道的实测激光点云地图（图6）得出，以巷道中心线作为参考路径，该路径由直行弯入另一段直行，能够代表地下铲运机绝大多数的实际工作路径。为了保障铲运机在狭小的地下空间中安全行驶，将最大横向位置偏差限制在0.5 m以内。

图6

图6 试验参考巷道三维激光点云地图

Fig.6 3D laser point cloud map of test reference laneways

为了获得比较好的搜索能力和速度，种群规模N设置为50，迭代次数G设置为100（邹忱忱，2017）；惯性权重w由0.9线性递减至0.4时，可以确保粒子群算法在初期具有较好的全局寻优能力，并且避免在迭代末期陷入局部最优（Shi et al.，1998）；地下铲运机路径跟踪问题的优化过程中，对于粒子“个体认知”和“群体经验”没有相应的侧重点，可设定学习因子c₁=c₂=2；为兼顾搜索速度和精度，设置v_max=1，迭代时，粒子速度v_i∈［-v_max，v_max］；适当地给出粒子各元素的取值范围，可以在初始化粒子群后极大地缩短算法搜索最优值的时间，为了将初始种群的随机分布限制在适当范围内，令q_max=500；相比PSO算法，QPSO算法中唯一需要提前设置的参数仅有收缩—扩张系数α，与PSO算法中在惯性权重w的取值类似，将系数α设为固定值时，算法的优化性能有限，因此也可以用类似的线性递减策略设置系数α，其表达式为

α = (α_{i n i} - α_{e n d}) \cdot \frac{G_{k} - g}{G_{k}} + α_{e n d}

（20）

式中：G_k为最大迭代次数；g为当前迭代次数。一般情况下，将系数α的初始值α_ini设置为1.0，终止值α_end设置为0.5时，量子行为粒子群算法对大多数的优化问题具有相当不错的性能（康燕等，2007）。

综上，对PSO和QPSO的所有初始参数设置如表2所示。

表2 粒子群优化算法及其改进算法的初始参数设置

Table 2 Initial parameter setting of the particle swarm optimization algorithm and its improved algorithm

参数名称	数值	参数名称	数值
种群规模 $N$	50.0	学习因子 $c_{2}$	2.0
迭代次数 $G$	100.0	最大移动速度 $v_{m a x}$	1.0
初始惯性权重 $w_{i n i}$	0.9	粒子取值极限 $q_{m a x}$	500.0
终止惯性权重 $w_{e n d}$	0.4	初始收缩—扩张系数 $α_{i n i}$	1.0
学习因子 $c_{1}$	2.0	终止收缩—扩张系数 $α_{e n d}$	0.5

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地下铲运机的初始坐标设置为（-109，-7），初始航向角设置为-0.28 $π$ ，铰接转向角归零，行驶速度恒定为6.92 m/s，分别用PSO和QPSO算法对地下铲运机路径跟踪控制器中的加权矩阵进行优化。在进行多次重复试验后发现，PSO算法仅在个别的试验中能够找到使控制器横向偏差低于0.5 m的最优参数，适应度也无法收敛至与QPSO相当的水平，即使调整初始参数和增加迭代次数，情况也没有明显改善；而QPSO算法在10次重复试验中均找到了满足条件的最优参数。表3为参数优化结果，图7为其粒子群迭代过程的历史最优适应度。在100次的迭代中，PSO算法适应度在迭代至21次时趋于收敛，而QPSO算法的适应度在第7次迭代时便收敛于较PSO更低的水平。由此可知，QPSO算法的参数优化能力明显强于PSO算法，且前者的寻优速度更快。

表3 粒子群算法及其改进算法的参数优化结果

Table 3 Parameter optimization results of the particle swarm optimization algorithm and its improved algorithm

算法	加权矩阵Q			线性反馈矩阵K			适应度
算法	$q_{1}$	$q_{2}$	$q_{3}$	$k_{1}$	$k_{2}$	$k_{3}$	适应度
PSO	0.4560	89.9876	61.3431	0.6753	10.2855	11.7014	19.5232
QPSO	0.0142	55.8160	40.3936	0.1193	7.6420	10.8306	4.5278

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图7

图7 历史最优适应度

Fig.7 Historical optimal fitness

将参数优化结果代入地下铲运机仿真环境中完成路径跟踪模拟，可以得到如图8~图10所示的结果。

图8

图8 不同优化参数行驶路径对比

Fig.8 Comparison of driving paths with different optimization parameters

图9

图9 不同优化参数控制偏差对比

Fig.9 Control deviation comparison of different optimization parameters

图10

图10 不同优化参数控制输出对比

Fig.10 Control output comparison of different optimization parameters

相比QPSO算法，PSO算法优化得到的加权矩阵Q_PSO使地下铲运机在19 s前的横向位置跟踪偏差更小，但波动更加频繁。这是因为Q_PSO中对应横向偏差的分量q₁，比QPSO算法优化结果Q_QPSO中对应的分量更大，而Q_QPSO中对应航向角偏差和曲率偏差的分量q₂和q₃更大。在19 s后，期望路径由曲线突然变为直线，Q_QPSO比Q_PSO更早地进行了转向纠偏。总体来看，QPSO算法优化后的控制器更加稳定，更贴合期望路径，最大横向偏差为0.23 m，较PSO算法优化的控制器降低了53.4%。从图9中可以看出，PSO算法优化的控制器超调现象明显更多，控制量抖动剧烈，而QPSO算法优化的控制器更加平稳，能耗更低。

综上所述，QPSO算法的搜索结果虽然不能大幅提升控制系统的控制效果，但可以大幅缩短性能近似参数的搜索时间。在同样的迭代次数下，QPSO算法较PSO算法对LQR路径跟踪控制器的参数优化结果更好，寻优成功率更高。

4 结论

（1）基于误差动力学模型构建了一个LQR路径跟踪控制器，并使用QPSO算法对其进行参数优化，实现了在仿真条件下对地下铲运机精确、稳定的路径跟踪控制，最大横向误差不超过0.24 m。

（2）对比试验结果可知：在对LQR路径跟踪控制器的参数进行优化时，量子行为粒子群优化算法（QPSO）的结果明显优于标准粒子群优化算法（PSO），且成功率更高。这是因为QPSO改善了PSO算法易陷入局部最优的固有缺陷，寻优能力更强，速度更快。

（3）整个控制器设计和参数整定过程对实现地下铲运机的自主行走具有重要的参考意义。该控制器的效果受参数的影响很大，且对于不同的路径需要重新优化参数。地下铲运机的轨迹跟踪控制为马尔可夫过程，未来可以采用强化学习的方法得到能适应不同路径的控制策略。

http://www.goldsci.ac.cn/article/2021/1005-2518/1005-2518-2021-29-1-25.shtml

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