基于SMA算法优化随机森林的PPV预测模型

图1 随机森林原理图

Fig.1 Schematic diagram of random forest

（1）对大小为K的数据集随机不放回抽样N次，每次选取一个样本。最后，利用选取的N个训练样本集将抽样数据组成训练样本集。

（2）拆分决策树的每个节点时，从样本的M个属性中随机选出m个属性，且m满足m<<M的条件。然后，利用式（1）从m个属性中选择一个作为节点的拆分属性。

$m i n [m i n \sum {(y_{i} - v_{1})}^{2} + m i n \sum {(y_{i} - v_{2})}^{2}]$

（1）

（3）在形成决策树的过程中，按照步骤（2）对每个节点进行分割，直到无法分割为止。需要注意的是，在形成决策树的过程中没有剪枝。

（4）根据步骤（1）到步骤（3）建立大量的决策树，从而构成一个随机森林，将所有决策树的结果取平均值确定最终结果。

其中，对于划分特征A，对应的任意划分点s的两边分别划分为数据集V₁和V₂，使V₁和V₂各自集合的均值方差最小，V₁和V₂均值方差之和为特征和特征值划分点的最小值，其中v₁为V₁的均值，v₂为V₂的均值。

$T = \frac{1}{N} \sum (T_{1} + T_{2} + \dots + T_{N})$

（2）

式中：T为随机森林的最终结果；T₁，T₂，…，T_N 为N棵决策树的结果。

随机森林算法中常被优化的超参数是树的个数和最小叶子点数。表1所示为超参数的缩写和范围。

表1 随机森林算法中被优化的超参数

Table 1 Hyper-parameters optimized in random forest algotithm

超参数	含义	范围
n_tree	树的个数	0~300
m_try	最小叶子点数	0~20

1.2 SMA优化算法

SMA算法是2020年提出的一种随机优化的方法，其根据黏菌多头绒泡菌在觅食过程中的行为和形态变化建立数学模型，模拟黏菌获取食物的3种过程：接近食物、包围食物和捕获食物（Li et al.，2020）。

（1）接近食物

附近区域的权重与周围食物浓度呈正相关，当食物浓度不满足条件时，该区域的权重会减小，从而转向其他区域搜索。搜索阶段的数学描述和位置更新可表示为

$X (t + 1) = \{\begin{array}{l} X_{b} (t) + v_{b} ∙ [W ∙ X_{A} (t) - X_{B} (t)], r < p \\ v_{c} ∙ X (t), r \geq p \end{array}$

（3）

式中： $v_{b}$ 为［-a，a］范围内的参数，a的取值算法见式（4）； $v_{c}$ 是范围在［0，1］且线性趋近于0的参数；t为目前迭代次数；r为［0，1］内的随机数；X_b（t）为当前最优位置；W为权重；X_A（t）和X_B（t）为随机选取的2个黏菌位置。最大极限 $p$ 的计算公式见式（5）。

$a = t a n h^{- 1} [1 - (\frac{t}{t_{m a x}})]$

（4）

式中： $t_{m a x}$ 为最大迭代次数。

$p = t a n h |S (i) - F_{D}|, i = 1,2, \dots, N$

（5）

式中： $S (i)$ 为各个黏菌的适应度值； $F_{D}$ 为所有迭代中的最佳适应度值。

W权重更新策略公式如下：

$\begin{array}{l} \vec{W (S m e l l I n d e x (i))} = \\ \{\begin{matrix} 1 + r ∙ l o g [\frac{F_{b} - S (i)}{F_{b} - F_{ω}} + 1], C o n d i t i o n \\ 1 - r ∙ l o g [\frac{F_{b} - S (i)}{F_{b} - F_{ω}} + 1], 其他 \end{matrix} \end{array}$

（6）

$S m e l l I n d e x = s o r t (S)$

式中：矢量F_b为当前迭代过程中获得的最优适应值； $F_{ω}$ 为当前迭代过程中得到的最差适应值；Condition为S（i）能排在种群前半部分的个体，i=N/2。式（6）中SmellIndex表示排序后的适应度值序列。

（2）包围食物

包围食物阶段是模拟黏菌静脉组织正负反馈实现的，静脉接触的食物浓度越高，振荡越强，细胞质流动越快，静脉越厚。黏菌在更新位置上的数值计算公式为

$X = \{\begin{array}{l} R ∙ (B_{u} - B_{l}), R < z \\ X_{b} (t) + v_{b} ∙ [W ∙ X_{A} (t) - X_{B} (t)], r < p \\ v_{c} ∙ X (t), r \geq p \end{array}$

（7）

式中：R和r为［0，1］之间的随机值；B_l和B_u为搜索空间的下界和上界；z为切换概率，决定SMA是探索其他食物源还是围绕最佳个体搜索。

（3）捕获食物

使用W、v_b和v_c表征黏菌的行为。通过模拟黏菌的振荡频率，黏菌接近食物的速度随着食物浓度的降低而变慢，而当找到最优食物时，黏菌加快接近食物。随着迭代次数的增加，v_b在区间［-a，a］振荡并逐渐接近0。v_c在［-1，1］之间波动，最终到达0。

1.3 SMA-RF模型

RF模型的预测精度和速度受树的个数和最小叶子点数等超参数的影响较大。当树的个数过少时模型容易欠拟合，而树的个数过多时既不能显著提升模型，又会增加模型的计算时间；同样随着最小叶子点数的增加，拟合效果会不断优化，同时模型的计算复杂度也会随之增加（杨练兵等，2021）。因此，设置合适的树的个数和最小叶子点数显得尤为重要。SMA具有良好的全局优化能力和收敛性（Li et al.，2020），可以优化RF模型的超参数，从而提高其准确性。因此，本文提出了一种SMA-RF算法，该算法利用SMA优化RF的上述2个重要超参数，并将其应用于PPV预测。

图2所示为PPV预测模型的构建流程，包括数据预处理、模型训练和测试3个阶段。第一阶段确定并收集PPV的主要影响因素，建立输入、输出参数数据库，从中随机抽取80%的数据用于训练模型，剩余部分用于测试模型。输入参数的选择对模型性能至关重要。

图2

图2 SMA-RF模型流程图

Fig.2 SMA-RF model flow chart

在最后一个阶段，利用测试集对具有最优超参数的4个预测模型进行评估。选择误差最小的模型作为最优PPV预测模型。同时，还可以确定每组中的最优模型，使研究人员根据已有的试验数据选择最合适的预测模型。

1.4 模型评估

为了评价本研究中混合模型的可靠性和准确性，通过模型评价指标决定系数（R²）、平均绝对误差（Mean Absolute Error，MAE）、均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）和中位数绝对误差（Median Absolute Error，MEDEA）的性能得分对模型性能进行对比评价（Zhang et al.，2020）。这些评价指标用于描述PPV预测值与实测值之间的关系。R²表示实测值与预测值的线性相关性，MAE表示结果的偏差，RMSE表示结果的离散度，MEDEA表示结果的准确度。评价指标的计算公式如下：

$M A E = \frac{\sum_{i = 1}^{n} | y_{i} - {\hat{y}}_{i} |}{N}$

（8）

$R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$

（9）

$R M S E = \sqrt[]{\frac{1}{n} \times \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}$

（10）

$M E D E A = m e d i a n (y_{i} - {\hat{y}}_{i})$

（11）

式中： $y_{i}$ ， $\hat{y}$ 和 $\bar{y}$ 分别为输出数据的实测值、预测值和平均值。

2 工程应用

2.1 数据收集与模型指标选取

在露天采场台阶爆破中，影响爆破振动速度的因素有很多，考虑到影响因素的代表性和易获取性，根据萨道夫斯基经验公式，选取最大段药量和水平距离这2个重要因素作为输入变量（郭钦鹏等，2020）。有学者针对爆破振动高程效应进行分析，发现随着测点高程的变化，爆破振动速度也随之变化，因此在测算爆破振动速度时，需考虑高程差（谭文辉等，2010；蒋楠等，2014）。当抵抗线过大时，由于爆炸并未破坏附着在岩石表面的岩石，沿最小抵抗线传播的应力波会叠加原有应力波，从而使岩体表面反射应力波增大，导致岩石表面反演应力波增强。当抵抗线非常短时，岩石就会在抵抗线较短的一侧形成一条破碎带，沿着最短抵抗线传播的应力波就会转变成破碎能量，很难被反射回来，爆破振动强度就会增加（赵华兵等，2012；周游等，2016），因此将最小抵抗线作为输入变量之一，能够更好地预测爆破振动速度。综上，本研究将最大段药量、水平距离、高程差和最小抵抗线作为PPV预测模型的输入变量。基于攀枝花某露天矿现场试验测定得知，影响爆破振动速度的主要因素有最大段药量、水平距离、高程差和最小抵抗线。本次爆破振动监测使用TC-4850爆破测振仪共测得23组数据，表2为爆破振动实测数据。

表2 爆破振动实测数据

Table 2 Measured data of blasting vibration

序号	Q_max/kg	r/m	H/m	W/m	实测值/（cm·s^-1）
1	580.8	200	0	5.0	0.763581
2	600.8	310	75	6.0	0.489885
3	300.8	282	150	5.0	0.007130
4	260.8	60	15	5.0	1.893658
5	280.8	468	239	4.5	0.692248
︙	︙	︙	︙	︙	︙
23	260.8	110	15	5.0	1.191707

将前18个数据设为训练集，其余设置为测试集。训练集和测试集的4个输入变量分布如图3所示。由图3可知，训练集和测试集的参数分布大致相同，一定程度上保证了模型的可靠性。

图3

图3 SMA-RF模型的训练集和测试集分布

Fig.3 Distributions of training set and testing set for SMA-RF model

2.2 SMA-RF模型预测

（1）超参数的确定。利用SMA算法对RF模型中的2个超参数进行寻优。图4所示为4个不同参数组合的PPV预测模型在200代内适应度值的迭代情况。由图4可知，在不同参数组合下的SMA算法优化快速达到全局最优，且在迭代过程中适应度值不断降低，最终保持在固定数值上达到最优。此外，从SMA算法迭代过程中也可以看出，Q_max-r组合适应度最高，而Q_max-r-W组合适应度最佳，说明在该组合条件下，SMA算法通过训练集寻找到的最优位置优于其他组合。

图4

图4 SMA-RF预测模型中适应度值的迭代情况

Fig.4 Iteration situation of fitness value in SMA-RF prediction model

（2）基于SMA-RF模型的PPV预测结果。在上述确定的超参数基础上，可以建立4个最优组合的SMA-RF模型。图5给出了使用最优模型的训练集和测试集得到的预测PPV散点图。由图5（a）可以看出，仅仅考虑了Q_max和r的预测模型相比图5（b）~5（d）中的其他组合散点更远离y=x线，说明仅仅考虑Q_max和r的模型训练结果较差，且泛化能力欠缺。表3整合了不同组合的SMA-RF模型在训练集和测试集上的评价指标，并在表4中进行了综合排名。综合排名结果显示，Q_max-W-H-r组合在训练和测试结果中均有较好的表现，与其他组合相比，Q_max-W-H-r组合模型具有更好的预测精度。

图5

图5 SMA-RF预测模型对训练集和测试集的PPV预测

Fig.5 Predicted PPV for training and testing sets by SMA-RF prediction models

表3 不同输入参数的SMA-RF预测模型结果评估

Table 3 Result evaluation of SMA-RF prediction model with different input parameters

参数组合	训练集								总分
参数组合	MAE	得分	R²	得分	RMSE	得分	MEDEA	得分	总分
Q-r	1.3893	1	0.9290	1	1.9299	1	0.9472	1	4
Q-H-r	0.8767	4	0.9694	4	1.2503	4	0.5444	4	16
Q-W-r	1.2464	2	0.9564	2	1.4970	2	1.1055	2	8
Q-W-H-r	1.0456	3	0.9637	3	1.3582	3	0.7775	3	12
参数组合	测试集								总分
参数组合	MAE	得分	R²	得分	RMSE	得分	MEDEA	得分	总分
Q-r	1.6183	3	0.9962	4	2.0230	4	1.2771	2	13
Q-H-r	1.6942	1	0.9176	1	2.1552	2	1.7324	1	5
Q-W-r	1.6506	2	0.9801	3	2.2210	1	1.1245	3	9
Q-W-H-r	1.3958	4	0.9636	2	2.0702	3	0.7131	4	13

表4 不同输入参数的SMA-RF预测模型得分比较

Table 4 Comparison of SMA-RF prediction model scores with different input parameters

参数组合	训练集得分	测试集得分	总分	排名
Q-r	4	13	17	3
Q-H-r	16	5	21	2
Q-W-r	8	9	17	3
Q-W-H-r	12	13	25	1

2.3 RF模型预测

同样选取MAE、R²、RMSE和MEDEA作为RF模型的性能评价指标，模型随机连续运行多次，取各性能指标的平均值。RF模型训练结果评估如表5所示。

表5 RF预测模型结果评估

Table 5 Evaluation of RF prediction model results

评价指标	训练集	测试集
MAE	1.4605	1.6951
R²	0.9675	0.9045
RMSE	2.0201	2.1923
MEDEA	1.0656	1.6955

2.4 经验公式预测

在以往研究中，国内外学者相继提出不同的爆破振动速度峰值预测公式，如：Amb-Hend、CMRI predictor（Roy，1993）、General predictor（Davies et al.，1964）、Indian Standard predictor（Guo et al.， 2021）、Lang-Kihl和USBM （Siskind et al.，1980），其一般形式为

$P P V = \frac{r^{A}}{Q_{m a x}^{B}}$

（12）

式中：r为爆心距；Q_max为最大段药量；A和B为经验拟合参数。最常见的值分别是A=1和B=1/2或1/3，用于平方根和立方根缩放。最后利用测试集检验经验公式的拟合效果。表6列出了这些常用的经验公式。

表6 6组国内外常用经验公式

Table 6 Six groups of common empirical formulas at home and abroad

经验方法	公式
Amb-Hend	$P P V = K {[r / {(Q_{m a x})}^{1 / 3}]}^{- B}$
CMRI	$P P V = n + K {[r / {(Q_{m a x})}^{1 / 2}]}^{- 1}$
General	$P P V = K {(Q_{m a x})}^{A} r^{- B}$
Indian Standard	$P P V = K {[r / {(Q_{m a x})}^{2 / 3}]}^{B}$
Lang-Kihl	$P P V = K {[(Q_{m a x} / r^{3 / 4})]}^{B}$
USBM	$P P V = K {[r / {(Q_{m a x})}^{1 / 2}]}^{- B}$

注：K、B、A和n是通过将训练集组数据进行回归拟合的常数

为了横向评估SMA-RF模型的预测效果，将6种常用经验公式与SMA-RF模型进行对比。表7列出了这6组经验公式经过回归拟合后得出的常量项和评价指标，图6为6组经验公式的预测情况。

表7 6组经验公式的常量项及拟合评价指标

Table 7 Constant terms and fitting evaluation indexes of six groups of empirical formulas

经验公式	参数				评价指标
经验公式	K	B	A	n	MAE	R²	RMSE	MEDEA
USBM	13.1027	0.7479	-	-	3.0944	0.0195	5.6826	1.6959
Lang-Kihl	0.2867	1.9959	-	-	2.8063	0.1031	4.3341	1.4054
General	9.3569e^-5	0.5392	2.1427	-	2.2920	0.2649	3.7887	0.1357
Amb-Hend	24.9367	0.6897	-	-	3.1793	0.0079	4.5676	1.8497
Indian Standard	6.1020	0.7806	-	-	3.0219	0.0341	4.5570	1.7112
CMRIP	12.9205	-	-	1.1330	3.1571	0.0094	4.5826	1.6516

图6

图6 6组经验公式的PPV预测

Fig.6 PPV prediction of six groups of empirical formulas

由图6可以看出，6个经验公式的散点图相比图5（d）中的散点更远离y=x线，说明经验公式的训练结果较差。

2.5 敏感性分析

为了研究模型各输入参数对输出结果的影响程度，利用随机森林模型内置的重要性测度方法，对袋外（Out of Bag，OOB）数据进行预测，并将所有决策树随机扰动前后的2次预测值均方误差（MSE）作为该特征参数的重要度。计算公式如下：

$S c o r e^{i} = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} (m s e_{1 n}^{i} - m s e_{2 n}^{i})$

（15）

式中：N为决策树个数； $m s e_{1 n}^{i}$ 和 $m s e_{2 n}^{i}$ 分别为随机扰动前后OOB数据的MSE值。

如图7所示，Q_max和r对PPV预测的重要性明显高于H和W，说明经验公式中常常考虑Q_max和r是合理的。但值得注意的是，H和W仍然对PPV预测有一定的影响。因此，在条件允许的情况下应考虑通过H和W这2个因素来提高预测模型的精度。

图7

图7 4个输入参数的MSE平均下降值

Fig.7 Average MSE decrease of four input parameters

3 结论

提出了一种新的基于黏菌算法（SMA）和随机森林（RF）算法的混合智能模型，以更精准地预测PPV。首先建立包含4个输入参数（最大段药量Q_max、爆心距r、最小抵抗线W、高程H）和1个输出参数（PPV）的数据库。80%的数据用于训练模型，20%的数据用于测试模型。

（1）为了寻找预测PPV的最优输入参数组合，采用4种输入参数组合（Q_max-H-W-r、Q_max-H-r、Q_max-W-r和Q_max-r）分别训练预测模型，由此建立了4种具有不同输入参数组合的SMA-RF模型。将黏菌算法与RF算法集成以确定RF算法中的最优超参数，增强RF模型的稳健性。训练集和测试集的预测结果表明， Q_max-H-W-r组合能够训练出最优的SMA-RF模型。

（2）本文所提出的SMA-RF模型预测PPV的精度明显优于以往的经验方法，且相比未优化的RF模型有一定的提升，产生较低的MAE、RMSE、MEDEA和较高的R²。SMA-RF模型产生的平均MAE、RMSE和MEDEA相比未优化的RF模型分别下降了0.2993、0.1221和0.9825，R²提升了0.1221。由表7和图6可知，这些经验公式得到的拟合结果与预测结果偏差较大，散点较为分散并远离y=x线，说明这些经验公式并不适用于本文的研究对象。

（3）敏感性分析研究表明，所提出的RF模型中PPV与4个输入参数之间的关系符合物理解释，证实了所提出模型的稳健性和合理性。采用RF算法中的预测值均方误差来评价输入参数的敏感性，结果表明模型性能对Q_max和r的敏感性远高于对H和W的敏感性，且同时考虑H和W也可提高模型的准确度。

http://www.goldsci.ac.cn/article/2023/1005-2518/1005-2518-2023-31-4-624.shtml

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最小抵抗线对深孔岩石爆破块度的影响

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