基于等维动态马尔科夫SCGM（1，1）C模型的黄金价格预测

doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2020.01.095

基于等维动态马尔科夫SCGM（1，1）_C模型的黄金价格预测

王梅^,, 陈建宏^,, 杨珊

中南大学资源与安全工程学院，湖南长沙 410083

Gold Price Forecast Based on the Equal Dimensional Dynamic Markov SCGM（1，1）_C Model

WANG Mei^,, CHEN Jianhong^,, YANG Shan

School of Resources and Safety Engineering，Central South University，Changsha 410083，Hunan，China

通讯作者: 陈建宏（1963-），男，江苏苏州人，教授，从事矿业经济和采矿系统工程研究工作。cjh@263.net

收稿日期: 2019-06-26 修回日期: 2019-08-08 网络出版日期: 2020-03-06

基金资助:

国家自然科学基金青年基金项目“基于人工智能的矿山技术经济指标动态优化研究”. 51404305

Received: 2019-06-26 Revised: 2019-08-08 Online: 2020-03-06

作者简介 About authors

王梅（1994-），女，陕西延安人，硕士研究生，从事矿业经济研究工作1816057034@qq.com , E-mail：1816057034@qq.com

摘要

为了提高黄金价格预测精度，提出等维动态马尔可夫 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测模型，引入取新去旧的数据处理方法，使用等维动态实现数据优化。等维动态马尔可夫 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测模型是将等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型与马尔可夫链结合起来，在等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型的预测结果上再进行状态划分与转移，重新得到预测值。选取2018年1月~2019年4月共16组黄金价格数据，将动态等维的维数定为13，数据处理时选用2018年1月~2019年1月的13个黄金价格数据，预测2019年2月的黄金价格，再依次预测2019年3月和4月的黄金价格。以2019年2~4月的3个黄金价格预测数据作为拟合，预测2019年5月的黄金价格。通过比较灰色 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测模型、等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型与等维动态马尔可夫 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测模型的精度，可知等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测模型的精度较 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型有所提高，等维动态马尔可夫 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型的拟合精度最高，达到一级，相对误差平均值为0.85%，符合预测要求，应用该模型预测的2019年5月的黄金价格为1 314.78美元/盎司，实际黄金价格为1 295.55美元/盎司，价格较为接近。

关键词： 黄金价格 ; 等维动态 ; 马尔可夫 ; $S C G M （ 1 ， 1 ） C$ ; 预测精度 ; 灰色模型

Abstract

In order to improve the accuracy of gold price prediction，an equal dimensional dynamic Markov SCGM（1，1）_C forecasting model was proposed.Prediction has high requirements for the selection of data，and the latest data can improve the prediction accuracy.The equal dimensional dynamic Markov SCGM（1，1）_C model is a composite model which combines the equal dimensional dynamic SCGM（1，1）_C model with the Markov chain.On the basis of the prediction results of the equal dimensional dynamic SCGM（1，1）_C，the grey fitting accuracy index is divided into states，and the state of the monthly gold price is determined.On this basis，the next transition direction is determined according to the transition probability matrix，and finally the predicted data is obtained.In this paper，the data processing method of take the new one and remove the old one was introduced，and the equal dimension dynamic data optimization was used.Because the grey SCGM（1，1）_Cprediction model is also a grey model，the grey model is characterized by less original data，so a large number of original values are not needed in this paper.A total of 16 groups of gold price data from January 2018 to April 2019 were selected，and the dimension of dynamic equal dimension was determined to be 13.When SCGM（1，1）_Cmodel data were processed，13 gold price data from January 2018 to January 2019 were selected to predict the gold price in February 2019，and then the gold price of March 2019 and April 2019 was predicted as above.The prediction data from February 2019 to April 2019 were used as fitting data to observe whether the accuracy of the prediction model is the best.The grey SCGM（1，1）_Cmodel was predicted directly with all 16 known data.By comparing the grey SCGM（1，1）_Cprediction model，the equal dimensional dynamic SCGM（1，1）_Cmodel and the equal dimensional dynamic Markov SCGM（1，1）_Cprediction model it is know that the accuracy of the equal dimensional dynamic SCGM（1，1）_Cmodel is higher than the SCGM（1，1）_Cmodel.The fitting accuracy of the equal dimensional dynamic Markov SCGM（1，1）_Cis the highest，reaching the first order，the average relative error is 0.85%，which meets the prediction requirements，and the gold price in May 2019 is predicted to be $1 314.78.Although the grey SCGM（1，1）_Cmodel has the lowest accuracy，it is simple to calculate and all the predicted values can be obtained by one calculation.The equal dimensional dynamic Markov SCGM（1，1）_Cmodel is the most complex，but its predict results are the most accurate.Compared with the neural network and other methods，the equal dimensional dynamic Markov SCGM（1，1）_Cmodel is simpler，so the model can be used to predict the gold price.The gold price in May 2019 is $1 295.55.Which Contrast with the predict is very close.

Keywords： gold price ; equal dimensional dynamic ; Markov ; SCGM（1，1）_C ; forecast precision ; gray model

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本文引用格式

王梅, 陈建宏, 杨珊. 基于等维动态马尔科夫SCGM（1，1）_C模型的黄金价格预测[J]. 黄金科学技术, 2020, 28(1): 158-166 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2020.01.095

WANG Mei, CHEN Jianhong, YANG Shan. Gold Price Forecast Based on the Equal Dimensional Dynamic Markov SCGM（1，1）_C Model[J]. Gold Science and Technology, 2020, 28(1): 158-166 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2020.01.095

黄金具有货币、商品和金融3项功能^[1]。黄金价格的影响因素较多，例如股票市场、货币汇率和黄金供需等^[2]。黄金是重要的金融工具，因此当股票及货币汇率降低时，多数人会选择黄金进行投资，这时黄金价格的预测就显得十分重要。此外，黄金矿山企业在开采时需要根据黄金价格进行判断，确定要开采的矿石品位及其他生产经营参数，从而做出正确决策，使开采活动能获利。

近年来，黄金价格预测受到广泛关注，国内外学者开展了若干相关研究，预测方法也很多，例如：神经网络、SVM模型、灰色预测和复合模型^[3,4,5]等。其中，单一预测模型通常存在某些缺陷，预测精度不理想，且目前已有的一些预测模型通常是基于黄金价格数据本身具有的统计特征进行分析，主要从数据方面提高精度；复合模型综合了几种单一模型的优点，预测精度有所提升。在神经网络算法方面，张均东等^[6]采用人工神经网络算法对黄金价格预测问题进行研究，提出结合宏观国际经济影响因素与价格时间序列的LM-BP模型；张坤等^[7]提出小波神经网络预测黄金价格；张品一等^[8]建立GA-BP神经网络模型对黄金价格进行仿真预测，但神经网络模型模拟人的思维，需要大量数据才能创造良好的模拟环境，且过程比较复杂。在SVM方面，景志刚等^[9]应用小波分析的LS-SVM—ARIMA组合模型对黄金价格进行预测。在灰色预测方面，许贵阳^[10]利用灰色预测方法预测黄金期货价格；刘成军等^[11]将灰色预测与马尔科夫模型复合应用于黄金价格预测；张延利等^[12]利用改进的灰色GM（1，1）模型对黄金价格进行预测。灰色预测模型一般只需少量数据，但要求已知数据具有指数规律。国外相关研究也较多，如Baur等^[13]提出模型和参数不确定条件下的黄金价格预测，Pierdzioch等^[14]关于预测金银价格的非对称性损失与预测合理性的注记，分别从不同角度预测或分析黄金价格。

系统云灰色 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测模型具有计算严谨、精度较高的优势，实用性较强^[15,16,17]，故本文选择 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测模型进行黄金价格预测。在此基础上提出等维动态马尔可夫 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型。选用的已知黄金价格数据没有明显的统计规律，因此使用等维动态算法对其进行处理，以提高模型整体精度。

1 预测模型的构建

1.1 灰色 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型的建立

$S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 为系统云灰色模型，是灰色模型中比较理想的一种预测方法，具有理论基础扎实、计算简便和精度较高等优点^[18]。 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 本身在数据处理计算时就用积分代替了原来灰色 $G M （ 1 ， 1 ）$ 模型的直接累加计算，即用梯形面积代替了矩形面积，从公式中减少误差，提高了精度，故 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型是黄金价格预测的理想模型。数据处理过程如下：

黄金价格的原始时间序列 $X^{(0)}$ 为

X^{(0)} = \{X^{(0)} (1), X^{(0)} (2), \dots, X^{(0)} (n)\}

（1）

式中： $X^{(0)} (n)$ 为已知的从2018年1月到2019年4月的黄金价格。

对 $X^{(0)}$ 进行积分生成变换，得到 ${\bar{X}}^{(1)} = [{\bar{X}}^{(1)} (2), {\bar{X}}^{(1)} (3), \dots, {\bar{X}}^{(1)} (n)]$ ，有

{\bar{X}}^{(1)} (k) = \overset{k}{\sum_{m = 2}} {\bar{X}}^{(0)} (m)

，

k = 2,3, \dots, n

（2）

式中： ${\bar{X}}^{(1)} (k)$ 为前k个梯形的面积。

其中

{\bar{X}}^{(0)} (k + 1) = \frac{X^{(0)} (k + 1) + X^{(0)} (k)}{2}

（3）

式中： ${\bar{X}}^{(0)} (k + 1)$ 为梯形面积。

则系统灰色 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型为

\frac{\partial x^{(1)} (k)}{\partial k} = a x^{(1)} (k) + U

，

k \geq 2

（4）

式中：a、U为参数。

其一次响应函数为

{\overset{\land}{x}}^{(1)} (k) = [{\overset{\land}{x}}^{(1)} (1) + \frac{U}{a}] e^{a k} - \frac{U}{a}

（5）

式中： $U = a c$ 。

a = l n \frac{\overset{n}{\sum_{k = 3}} {\bar{x}}^{(0)} (k - 1) {\bar{x}}^{(0)} (k)}{\overset{n}{\sum_{k = 3}} [{\bar{x}}^{(0)} {(k - 1)]}^{2}}

（6）

b = \frac{(n - 1) \overset{n}{\sum_{k = 2}} e^{a (k - 1)} {\bar{x}}^{(1)} (k) - [\overset{n}{\sum_{k = 2}} e^{a (k - 1)}] [\overset{n}{\sum_{k = 2}} {\bar{x}}^{(1)} (k)]}{(n - 1) \overset{n}{\sum_{k = 2}} e^{2 a (k - 1)} - {[\overset{n}{\sum_{k = 2}} e^{a (k - 1)}]}^{2}}

（7）

c = \frac{1}{n - 1} [(\overset{n}{\sum_{k = 2}} e^{a (k)}) b - \overset{n}{\sum_{k = 2}} {\bar{x}}^{(1)} (k)]

（8）

有 ${\overset{\land}{X}}^{(1)} (1) = b - c$ 。

对 ${\overset{\land}{x}}^{(1)} (k)$ 进行还原处理，得到

{\overset{\land}{x}}^{(0)} (k) = \frac{2 b (1 - e^{- a})}{1 + e^{- a}} e^{a (k - 1)}

（9）

令

Y (k) = \frac{X^{(0)} (k)}{{\overset{\land}{X}}^{(0)} (k)}

（10）

为灰拟合精度指标，反映拟合值对原始数据序列的偏离程度。

1.2 等维动态预测算法

预测对信息的要求很高，最新的数据会为预测提供更准确有效的指导。因此，在使用数据时，最好可以以新代旧，即用新信息代替旧信息，以确保预测结果更精确。等维动态预测能够很好地将旧数据剔除，同时植入新数据，使得数据更好地反映黄金价格变化，通过动态预测达到提高预测精度的目标。本文已知16个黄金价格数据，应尽可能多地选择数据参与预测，以提高精度，故以13作为维数。该等维动态预测算法过程如表1所示。

表1 等维动态预测算法过程

Table 1 Process of equal dimensional dynamic prediction algorithm

步骤	输入值	预测值
1	$x^{(0)} (1), x^{(0)} (2), \dots, x^{(0)} (13)$	${\overset{\land}{x}}^{(0)} (14)$
2	$x^{(0)} (2), x^{(0)} (3), \dots, x^{(0)} (14)$	${\overset{\land}{x}}^{(0)} (15)$
$⋮$	$⋮$	$⋮$
n+1	$x^{(0)} (n + 1), x^{(0)} (n + 2), \dots, x^{(0)} (n + 13)$	${\overset{\land}{x}}^{(0)} (n + 14)$

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1.3 等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测模型

在 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测模型中增加动态等维成分，维数定为13。运用前13个数据，即2018年1月~2019年1月的黄金价格，来预测2019年2月的黄金价格，再运用2018年2月~2019年2月的数据预测2019年3月的黄金价格，最后按同样方法预测得到2019年4月的黄金价格预测值。

1.4 等维动态马尔可夫 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型的建立

马尔可夫链模型是一个随机变量序列，它与某个系统的状态相对应，而此系统在某个时刻的状态只依赖于它的前一个状态^[19]。本文的预测模型和黄金价格变化都符合该特征，一般情况下，历史黄金价格对当前价格影响不大。当外界股票市场和钱币汇率等发生变动时，当月黄金价格将受到影响，同时下个月价格也会随之动荡，马尔可夫链预测能够很好地将该突变传递下去。因此利用马尔可夫理论对等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测模型进行改进，以提高预测精度。步骤如下：

（1）状态划分。黄金价格的月平均值没有明显的变化规律，将灰拟合精度指标Y₍_K₎划分为 $m$ 个状态，任一个状态表示为

E_{i} = [\partial_{1 i}, \partial_{2 i}], i = 1,2, \dots, m

（11）

\partial_{1 i} = Y_{(K)} + A_{i}

，

\partial_{2 i} = Y_{(K)} + B_{i}

（12）

式中： $E_{i}$ 表示第 $i$ 种状态； $\partial_{1 i}$ 和 $\partial_{2 i}$ 分别为第 $i$ 种状态的下界和上界； $A_{i}$ 和 $B_{i}$ 为根据待预测数据而定的常数。因为 $Y_{（ K ）}$ 是时间的函数，所以 $\partial_{1 i}$ 和 $\partial_{2 i}$ 也为时间函数。

（2）构造状态转移概率矩阵。若被预测状态的前一个状态处于 $E_{i}$ ，状态 $E_{i}$ 经过g步转移到达状态 $E_{j}$ 的原始样本数记为 $M_{i j} （ g ）$ ，状态 $E_{i}$ 出现的次数记为 $M_{i}$ ，则由状态 $E_{i}$ 经过g步转移到状态 $E_{j}$ 的状态转移概率为

p_{i j} (g) = \frac{M_{i j} (g)}{M_{i}}

i, j = 1,2, \dots, m

（13）

得到 $m \times m$ 阶状态转移概率矩阵为

p (g) = \{\begin{array}{l} p_{11} (k) & p_{12} (k) & \dots & p_{1 m} (k) \\ p_{21} (k) & p_{22} (k) & \dots & p_{2 m} (k) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ p_{m 1} (k) & p_{m 2} (k) & \dots & p_{m m} (k) \end{array}\}

（14）

（3）确定预测值。状态转移概率矩阵 $p (g)$ 为转移g次的统计结果，若 $p (g)$ 已知，其他的统计规律都可以依次求得，进而选择需要的相应转移矩阵来预测系统下一状态的转向。因使用等维动态数据处理的原因，每次选取13个数据得到的系数不同，每次状态划分和转移概率矩阵也不同，一次预测得到的转移矩阵只适用于下一个月黄金价格的预测。故在这里，只需考察一步转移概率矩阵 $p (1)$ 即可。设被预测对象的上一状态为 $E_{k}$ ，若 $p (1)$ 中的第 $k$ 行满足 $m a x p_{i j} = p_{k l}$ ，则系统最有可能从状态 $E_{k}$ 转移到状态 $E_{l}$ ，即认为下一状态处于 $E_{l}$ 。此时就确定了未来时刻预测值相应的变动灰区间[ $\partial {}_{1 l}$ , $\partial_{2 l}$ ]，可以将区间中位数作为未来时刻的预测值 $Y^{*} (k)$ 。

Y^{*} (k) = \frac{1}{2} (\partial_{1 l} + \partial_{2 l}) = Y (k) + \frac{1}{2} (A_{l} + B_{l})

（15）

式中： $A_{l}$ 和 $B_{l}$ 为根据待预测数据而定的常数。

预测值为

{\overset{\land}{x}}^{(0)} (k) = Y^{*} (k) \times {\overset{\land}{x}}^{(0)}^{'} (k)

（16）

式中： ${\overset{\land}{x}}^{(0)}^{'} (k)$ 为等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型得到的预测值。

1.5 残差精度检验

采用残差检验方法，计算出预测序列 ${\overset{\land}{x}}^{(0)} (k)$ 与原始序列 $x^{(0)} (k)$ 的相对误差序列，再求出相对误差序列的平均值。最后依据残差检验判断标准确定预测模型的精度等级^[20]。判断标准见表2。

表2 残差精度划分

Table 2 Division of residual accuracy

相对误差平均值范围/%	精度等级	相对误差平均值范围/%	精度等级
0～1	一级	5～10	三级
1～5	二级	10～20	四级

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2 预测实例

2.1 数据收集

本文所用的数据来源于伦敦黄金协会，因美元常被用来衡量货币之间的汇率，具有代表性，故本文黄金价格以美元/盎司计价。使用每月黄金价格可以反映价格的浮动又能及时反馈突变，对每月的黄金日交易价格进行加权平均，求得黄金月平均价格作为原始值。选取2018年1月~2019年4月的黄金价格数据，见表3。图1为2018年1月~2019年4月的黄金价格变化图。

表3 2018年1月~2019年4月的黄金价格

Table 3 Gold prices in January 2018 to April 2019

时间	价格/（美元·盎司^-1）	时间	价格/（美元·盎司^-1）
2018-01	1 345.1	2018-09	1 187.2
2018-02	1 317.8	2018-10	1 215.0
2018-03	1 323.8	2018-11	1 217.6
2018-04	1 313.2	2018-12	1 279.0
2018-05	1 305.3	2019-01	1 323.2
2018-06	1 250.4	2019-02	1 319.2
2018-07	1 220.9	2019-03	1 295.4
2018-08	1 202.4	2019-04	1 282.3

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图1

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图1 2018年1月~2019年4月的黄金价格

Fig.1 Gold price in January 2018 to April 2019

2.2 灰色 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测

运用2018年1月至2019年4月共16个黄金价格数据建立灰色 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型，其中前13个数据用于建模，后3个数据的拟合值用于分析模型预测效果。其中，a=-0.0027，b=-481 201.5128，则由式（9）可得

{\overset{\land}{x}}^{(0)} (k) = \frac{- 962 403.0256 (1 - e^{0.0027})}{1 + e^{0.0027}} e^{- 0.0027 (k - 1)}

= 1 297.4924

e^{- 0.0027 (k - 1)}

（17）

灰色 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型对2018年1月~2019年4月黄金价格的预测值见表4。

表4 灰色 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型黄金价格预测结果

Table 4 Prediction results of gold price by Grey $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ model

时间	黄金价格/（美元·盎司^-1）		原始值/预测值	相对误差/%
时间	原始值	预测值	原始值/预测值	相对误差/%
2018-01	1 345.1	1 281.3	1.0497	-4.7
2018-02	1 317.8	1 277.9	1.0312	-3.0
2018-03	1 323.8	1 274.5	1.0386	-3.7
2018-04	1 313.2	1 271.1	1.0330	-3.2
2018-05	1 305.3	1 267.7	1.0296	-2.9
2018-06	1 250.4	1 264.4	0.9889	1.1
2018-07	1 220.9	1 261.0	0.9681	3.3
2018-08	1 202.4	1 257.6	0.9561	4.6
2018-09	1 187.2	1 254.3	0.9465	5.7
2018-10	1 215.0	1 251.0	0.9712	3.0
2018-11	1 217.6	1 247.6	0.9759	2.5
2018-12	1 279.0	1 244.3	1.0278	-2.7
2019-01	1 323.2	1 241.0	1.0662	-6.2
2019-02	1 319.2	1 237.3	1.0661	-6.1
2019-03	1 295.4	1 234.4	1.0494	-4.7
2019-04	1 282.3	1 231.1	1.0415	-3.9
2019-05	-	1 250.3825	-	-

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由表4可知，灰色 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测模型中，相对误差平均值为3.83%，根据残差检验法可知，该预测模型的预测精度等级为二级。

2.3 等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型预测

运用等维动态和取新去旧的方法处理数据，确定数据维数为13，则先由2018年1月~2019年1月共13个黄金价格数据建立等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型。其中，a=-0.0025，b=-504 367.8947，则由式（9）得到

{\overset{\land}{x}}^{(0)} (k) = \frac{- 1 008 735.79 (1 - e^{0.0025})}{1 + e^{0.0025}} e^{- 0.0025 (k - 1)}

= 1 259.3455

e^{- 0.0025 (k - 1)}

（18）

由此可得2019年2月的黄金价格预测值为1 219.05美元/盎司，由此计算灰拟合精度，用于后续等维动态马尔可夫 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型的转移状态划分。同理，可得2019年3月和2019年4月的预测值，结果见表5。

表5 等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型黄金价格预测结果

Table 5 Prediction results of gold price by equal dimensional dynamic $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ model

时间	黄金价格/（美元·盎司^-1）		相对误差/%
时间	实际值	预测值	相对误差/%
平均相对误差/%			-3.66
2019-02	1 319.2	1 219.05	-7.5
2019-03	1 295.4	1 270.34	-1.5
2019-04	1 282.3	1 250.55	-2.5

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可知等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型的相对误差平均值为3.66%，根据残差检验法可知，该预测模型的预测精度等级为二级。

2.4 等维动态马尔可夫 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测

等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型的预测精度等级为二级，且相对误差的波动性较大，需要用马尔可夫链进行再次预测，以提高黄金价格预测的精度。根据等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型得到的灰拟合精度，进行马尔可夫链的转移矩阵状态划分。采用与等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型相同的数据处理方法，分别选3次13组灰拟合精度指标数据划分不同的状态，建立相应的黄金价格转移概率矩阵，依次求得2019年2月、3月和4月的黄金价格预测值。以2019年2月黄金价格预测为例，表6为2018年1月~2019年1月等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型的黄金价格预测统计表，划分的状态数量要根据数据的多寡适当进行调整，太少或太多都会对预测精度不利，2个极端都应避免^[21,22,23]。每个状态中包含的灰拟合精度个数大致相同，同时考虑精度指标的间距影响等，适当调整划分，第一次的状态划分结果见表7。

表6 2018年1月至2019年1月等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型黄金价格预测结果统计

Table 6 Statistical of gold price prediction results about equal dimensional dynamic $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ model in January 2018 to January 2019

时间	黄金价格/（美元·盎司^-1）		原始值/预测值	相对误差/%
时间	原始值	预测值	原始值/预测值	相对误差/%
2018-01	1 345.1	1 266.6	1.0620	-5.8
2018-02	1 317.8	1 263.4	1.0430	-4.1
2018-03	1 323.8	1 260.3	1.0504	-4.7
2018-04	1 313.2	1 257.1	1.0446	-4.2
2018-05	1 305.3	1 253.9	1.0410	-3.9
2018-06	1 250.4	1 250.8	1.0000	0.03
2018-07	1 220.9	1 247.7	0.9785	2.1
2018-08	1 202.4	1 244.5	0.9662	3.5
2018-09	1 187.2	1 241.4	0.9563	4.5
2018-10	1 215.0	1 238.3	0.9812	1.9
2018-11	1 217.6	1 235.2	0.9858	1.4
2018-12	1 279.0	1 232.1	1.0380	-3.6
2019-01	1 323.2	1 229.0	1.0766	-7.1

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表7 依据灰拟合精度指标的状态划分

Table 7 State division according to grey fitting accuracy index

编号	灰拟合精度指标状态划分	编号	灰拟合精度指标状态划分
$E_{1}$	0.9500～0.9700	$E_{4}$	1.0000～1.0420
$E_{2}$	0.9700～0.9850	$E_{5}$	1.0420～1.1200
$E_{3}$	0.9850～1.0000

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根据划分结果来确定各月对应的状态，应用式（13）得到各步的状态转移概论矩阵，其中一步状态转移矩阵为

p_{(1)} = \{\begin{array}{l} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{5} & \frac{4}{5} \end{array}\}

根据状态转移概率矩阵预测2019年2月的黄金价格，已知2019年1月黄金价格处于 $E_{5}$ 状态，因状态转移是由所处的状态向最大概率的状态转移，观察状态转移概率矩阵的第5行，有

m a x p_{5 j} = p_{55}

（19）

则经过一个月的转移，2019年2月的黄金价格仍最有可能向 $E_{5}$ 状态转移。已由等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型计算得2019年2月的黄金价格预测值为1 219.05美元/盎司。则由式（16）得到2019年2月的黄金价格为

\tilde{y} = \frac{1}{2} (1.042 + 1.12) \times 1219.05 = 1 317.73

（20）

此时灰拟合精度为0.9988，相比等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型的精度1.0822，预测精度明显提高。

同理，对2019年3月和4月的黄金价格进行预测，预测结果见表8。

表8 等维动态马尔可夫 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型黄金价格预测结果

Table 8 Prediction results of gold price by equal dimensional dynamic Markov $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ model

时间	黄金价格/（美元·盎司^-1）		相对误差/%	模型精度等级
时间	实际值	预测值	相对误差/%	模型精度等级
平均相对误差/%			0.85	一级
2019-02	1 319.2	1 317.73	-0.11	一级
2019-03	1 295.4	1 315.72	1.50	二级
2019-04	1 282.3	1 294.30	0.94	一级

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由表8可知，等维动态马尔可夫 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测模型的最大误差为1.50%，最小误差为-0.11%，相对误差平均值为0.85%，则由残差检验判断标准可知该模型的预测精度等级为一级。

3 3种预测模型结果对比分析

灰色 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型、等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测模型和等维动态马尔可夫 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型三者为递进和包含关系，其精度经过修正后逐渐提高。其中， $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型的精度最低，等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型的精度等级为二级，等维动态马尔可夫 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型的精度等级为一级。等维动态马尔可夫 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测模型的拟合效果最好，为最优模型，故采用该模型对2019年5月的黄金价格进行预测，得到预测值为1 314.78美元/盎司。

图2为3种模型预测值与原始值的拟合对比，其中预测值1为 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型的预测值，预测值2为等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测模型的预测值，预测值3为等维动态马尔可夫 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型的预测值。

图2

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图2 黄金价格预测值与原始值拟合对比图

Fig.2 Comparison between gold price predicted value and original value fitting

由图2可知，灰色 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型的精度最低，等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型预测精度稍低，其原因在于预测过程中所用的参数是固定的，这决定了预测结果将按照一定趋势变化，对于外部因素引起的黄金价格突变不能及时做出反应。而等维动态马尔可夫 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测模型的预测值只与前一状态有关，其他状态的影响隐匿于转移状态矩阵当中，实际预测中可以证实该模型的有效性，故可以用等维动态马尔可夫 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 进行黄金价格预测。

3种模型适用环境亦存在不同，灰色 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型精度最低，其计算也最为简单，适用于对预测结果精度要求不高的情况。等维动态马尔可夫 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测模型预测过程最复杂，在要求预测值尽可能接近实际值且已知的原始值较少时适用本方法。

4 结论

采用灰色SCGM(1,1)_C模型、等维动态SCGM(1,1)_C预测模型和等维动态马尔可夫 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测模型对2019年2~4月的黄金价格进行预测，得到如下结论：

（1）在采用等维动态、取新去旧进行数据处理的基础上，提出等维动态马尔可夫 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测模型，并对黄金价格进行预测，结果表明该模型的预测值与实际值最为接近，拟合效果最好，精度最高，证明采用该方法进行黄金价格预测是可行的。

（2）等维动态马尔可夫 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测模型在等维动态灰色 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型的基础上运用了马尔可夫链，因此同时具有等维动态 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 模型精度较高和马尔可夫链应对突变能力较强的优点，能够较好地处理黄金价格与数据序列间的内在联系。

（3）等维动态马尔可夫 $S C G M （ 1 ， 1 ）_{C}$ 预测模型精度高，且与神经网络等方法相比所需原始数据少，计算过程较简便，在已知原始值较少且精度要求较高时为最佳选择，可应用于多个方面，本文提出将其应用于黄金价格预测，且证实有效。

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

刘亚非，陈燕武.

试析黄金市场的灰色—马尔可夫预测

[J].企业导报，2011（20）：224-226.