基于相对差异函数的金属矿采空区危险性识别

doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2021.03.144

基于相对差异函数的金属矿采空区危险性识别

廖宝泉¹, 柯愈贤^,¹, 卿琛², 张华熙¹, 黄豪琪¹, 方立发¹, 王成¹, 陶铁军¹^,³

1.江西理工大学资源与环境工程学院，江西赣州 341000

2.江西理工大学外语外贸学院，江西赣州 341000

3.贵州大学土木工程学院，贵阳贵州 550025

Risk Recognition of Metal Mine Goaf Based on Relative Difference Function

LIAO Baoquan¹, KE Yuxian^,¹, QING Chen², ZHANG Huaxi¹, HUANG Haoqi¹, FANG Lifa¹, WANG Cheng¹, TAO Tiejun¹^,³

1.School of Resources and Environmental Engineering，Jiangxi University of Science and Technology，Ganzhou 341000，Jiangxi，China

2.Faculty of Foreign Studies，Jiangxi University of Science and Technology，Ganzhou 341000，Jiangxi，China

3.College of Civil Engineering，Guizhou University，Guiyang 550025，Guizhou，China

通讯作者: 柯愈贤（1987-），男，重庆垫江人，讲师，从事采矿、充填及矿山安全方面的教学和研究工作。keyuxian@jxust.edu.cn

第一联系人: 廖保泉（1999-），男，江西赣州人，本科生，从事安全科学与工程方面的研究工作。1140604314@qq.com

收稿日期: 2020-08-05 修回日期: 2020-11-02 网络出版日期: 2021-07-14

基金资助:

国家自然科学基金项目“渗流—蠕变耦合作用下全尾砂胶结充填体力学性能演化规律及损伤破坏机制”.  51804135
“APAM强化絮网结构后全尾砂料浆流动性能演化机制研究”.  51804134
国家大学生创新训练项目“硬岩矿深部膏体充填开采覆岩移动角与移动范围变化规律研究”.  201910407004
江西省自然科学基金项目“渗流作用下膏体充填体力学性能演化规律及损伤破坏机制”.  20192BAB216017
江西理工大学博士启动基金项目“全尾砂似膏体流变特性与管道输送阻力研究”.  jxxjbs17070

Received: 2020-08-05 Revised: 2020-11-02 Online: 2021-07-14

摘要

为了经济合理地治理金属矿采空区，建立了相对差异函数的采空区危险性识别模型。首先建立含14个指标的采空区危险性识别指标体系，并采用相对差异函数确定评价指标对评价级别的相对隶属度和熵权法、层次分析法（AHP）确定评价指标的组合权重；然后计算采空区危险性对评价级别的综合相对隶属度和级别特征值；最后根据级别特征值的平均值确定采空区的危险性级别。将该模型运用于某锡矿山8个采空区的危险性评价识别中，确定了各采空区的危险性级别，识别结果与未确知测度理论法识别结果相一致，符合现场实际。研究结果表明：该模型可通过自身参数的4种组合来提高采空区危险性识别结果的可靠性，为采空区危险性识别提供了一种新的方法。

关键词： 采空区 ; 危险性识别 ; 相对差异函数 ; 相对隶属度 ; 组合权重 ; 相关度 ; 安全性评价

Abstract

Numerous of underground goaf left by metal mine mining not only bring a series of safety and environmental problems to the society，but also affect the development of mineral resources and the healthy and sustainable development of the national economy.The risk recognition of metal mine underground goaf is an important basis of its treatment，so accurately identify the danger of the goaf has become one of the problems to be solved urgently in the safety supervision of government departments and the safety production of mining enterprises.It has been difficult to accurately recognize metal mine underground goaf risk for many factors will influence the stability of underground goaf，and coexistence of quantitative and qualitative factors，and the existence of contradictions between these factors.In order to accurately identify the risk of metal mines underground goaf and manage the goaf economically and rationally，a risk recognition model of metal mine underground goaf based on relative difference function was established.First，a risk recognition index system of metal mine underground goaf containing 14 indexes was constructed according to the risk factors such as hydrogeological factors，goaf parameters，and other factors.Then the relative membership degree of the indexes to evaluation levels was calculated by relative difference function，and the combined weight of the indexes was determined by entropy weight method and analytical hierarchy process.Afterwards，the comprehensive relative membership degree and level characteristic value of metal mine underground goaf risk to different evaluation levels was calculated under four different combinations of distance parameter and optimization criteria parameter，and the level of metal mine underground goaf risk was then to be determined by the average level characteristic value.Furthermore，the whole process was applied to the risk recognition of eight underground goafs a tin mine and their calculated risk level was grade Ⅱ，grade Ⅱ，grade Ⅱ，grade Ⅰ，grade Ⅲ，grade Ⅰ，grade Ⅲ，grade Ⅰ，grade Ⅲ and grade Ⅰ，respectively.The calculation results fully consistent with the recognition results of uncertainty measurement and also well accordant with the practical situation，it also provides a helpful theoretical basis for the mine’s further treatment of underground goaf and safety production.The results show that the above established risk recognition model can self-verify the recognition results by changing its four combinations of its own parameters （distance parameter and optimization criteria parameter），which reflects the model’s overall control over the essential law of the unity and opposites of evaluation indexes.The model can improve the recognized reliability of underground goaf risk and its identification process is simple and efficient，which provides a new method for underground goaf risk recognition.

Keywords： goaf ; risk recognition ; relative difference function ; relative membership degree ; combined weight ; correlation degree ; safety evaluation

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本文引用格式

廖宝泉, 柯愈贤, 卿琛, 张华熙, 黄豪琪, 方立发, 王成, 陶铁军. 基于相对差异函数的金属矿采空区危险性识别[J]. 黄金科学技术, 2021, 29(3): 440-448 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2021.03.144

LIAO Baoquan, KE Yuxian, QING Chen, ZHANG Huaxi, HUANG Haoqi, FANG Lifa, WANG Cheng, TAO Tiejun. Risk Recognition of Metal Mine Goaf Based on Relative Difference Function[J]. Gold Science and Technology, 2021, 29(3): 440-448 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2021.03.144

我国是世界金属矿开采第一大国，拥有地下金属矿山1万多座，每年开采出金属矿石20亿t以上（马海涛等，2014）。20世纪50年代以来，为了节约投资，降低开采成本，我国多数矿山早期均采用空场采矿法开采，加之一定时期内存在的矿业开采秩序混乱和非法乱采滥挖等问题，我国25个省、区内留下的采空区超过4.32亿m³（马海涛等，2014；杜坤等，2011；邓高等，2017）。大量的采空区已累计造成200多处大规模采空区地质灾害，70多万公顷的塌陷面积，以及超过500亿元的经济损失，不仅带来了一系列的安全、环境等社会问题，而且严重影响了我国矿产资源的开发和国民经济的健康持续发展（汪朝等，2015；Zhou et al，2013）。采空区的危险性识别是采空区治理的重要依据，因此，如何准确地识别采空区的危险性成为政府监管部门和企业安全生产中亟需解决的问题之一。

影响采空区稳定性的因素很多，采空区危险性识别具有定量与定性因素共存、因素之间存在矛盾以及危险性等级划分界线模糊等特点。许多学者对采空区稳定性评价进行了大量研究，并提出了许多各具特色的识别方法，主要有模糊神经网络预测法（胡洪旺等，2018）、主成分分析法（王纪鹏，2017）、未确知测度理论法（宫凤强等，2008）、模糊综合评价法（黄英华等，2019）、物元分析法（杜坤等，2011）、突变级数法（耿宏波等，2018）和灰色关联分析法（任红岗等，2016）等。然而，神经网络预测法和主成分分析法对样本的需求量较大，样本数据选取困难，识别结果易受样本规模的影响；模糊综合评价法和物元分析法以最大隶属度或关联度对级别进行归属，存在信息丢失的问题，可能会导致错误的识别结果；未确知测度理论法的识别结果与置信度因子的确定有关，而置信度因子的确定主观性强；突变级数法仅考虑了指标的相对重要性，忽略了各指标的权重影响；灰色关联分析法只能对采空区之间的相对危险性进行识别，难以确定采空区的危险等级。因此，上述方法均有一定程度的局限性，难以充分反映出事物、现象之间对立统一的本质规律。

相对差异函数是陈守煜教授于2005年在可变模糊集理论中创立的一种可以解决评价因素间矛盾与相容、定性与定量问题的数学方法（阮云凯等，2016；Fang et al.，2019），在水力水电工程（陈守煜，2009）、公共安全评价（尉强，2019；Huang et al.，2015）和公路隧道交通（陈朝辉，2018）等工程领域得到了广泛运用。

鉴于此，本文将相对差异函数引入到金属矿采空区危险性识别中，同时针对相对差异函数中权重的确定问题，组合工程领域中最常用的主观权重确定方法（层次分析法，AHP）和客观权重确定方法（熵权法）来确定评价指标的组合权重，建立组合权重和相对差异函数的金属矿采空区危险性识别模型，并将该模型运用于某锡矿的采空区危险性识别中，为其采空区处理提供依据。

1 相对差异函数原理

1.1 相对差异函数

设A为论域U上的一个模糊概念，U中的任意元素u（即u∈U）吸引A的相对隶属度为 $μ_{A} (u)$ 、排斥A的相对隶属度为 $μ_{_{A}}^{c} (u)$ ，当 $μ_{A} (u)$ > $μ_{_{A}}^{c} (u)$ 时，u以吸引A为主要特性；当 $μ_{A} (u)$ < $μ_{_{A}}^{c} (u)$ 时，u则以排斥A为主要特性。根据矛盾的对立统一性，当u发生变质，即从 $μ_{A} (u)$ > $μ_{_{A}}^{c} (u)$ 变为 $μ_{A} (u)$ < $μ_{_{A}}^{c} (u)$ 时，必然通过质变界 $μ_{A} (u)$ = $μ_{_{A}}^{c} (u)$ （陈守煜，2009），u的这一质变界的数学定义如下：

设论域U中的任意元素u（u∈U），在连续区间［0，1］的任意一点上，有 $μ_{A} (u)$ + $μ_{_{A}}^{c} (u)$ =1，且 $μ_{A} (u)$ ∈［0，1］、 $μ_{_{A}}^{c} (u)$ ∈［0，1］，令u的对立模糊集为

\underset{\approx}{A} = \{u, μ_{_{A}}^{} (u), μ_{_{A}}^{c} (u) |u \in U\}

（1）

由式（1）可定义u在连续实数轴上对A的相对差异度D_A（u）为

D_{A} (u) = μ_{A} (u) - μ_{A}^{c} (u)

（2）

定义映射 $D_{A} : U \to [- 1,1], u \to D_{A} (u) \in [- 1,1]$ ，如图1所示，即为u对A的相对差异度函数。

图1

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图1 相对差异函数

P_l-相对差异函数值域下临界点；P_m-相对差异函数值域中点；P_r-相对差异函数值域上临界点

Fig.1 Relative difference function

1.2 相对隶属函数

已知待评价对象U有m个评价指标，即U=（u₁，u₂，…，u_m），评价对象有n个评价级别。对级别j（j=1，2，…，n）指标u_i（i=1，2，…，m）的吸引域为［a_ij，b_ij］、最大变化区间为［c_ij，d_ij］，且［a_ij，b_ij］∈［c_ij，d_ij］，则指标u_i的排斥域为［c_ij，a_ij］和［b_ij，d_ij］。设k_ij为吸引域［a_ij，b_ij］中D_A（u）_j=1的点，视k_ij为线性变化，根据相对差异函数原理，k_ij可由式（3）计算（陈守煜，2009）：

k_{i j} = \frac{n - j}{n - 1} a_{i j} + \frac{j - 1}{n - 1} b_{i j}

（3）

当u_i特征值x_i位于k_ij左侧时，u_i对级别j的相对隶属度 $μ_{A} (u_{i})_{j}$ 按式（4）计算（陈守煜，2009）：

\{\begin{array}{l} {μ_{A}}_{(u_{i}) j} = 0.5 [1 + {(\frac{x_{i} - a_{i j}}{k_{i j} - a_{i j}})}^{r}], x_{i} \in [a_{i j}, k_{i j}] \\ {μ_{A}}_{(u_{i}) j} = 0.5 [1 - {(\frac{x_{i} - a_{i j}}{c_{i j} - a_{i j}})}^{r}], x_{i} \in [c_{i j}, a_{i j}] \end{array}

（4）

当u_i特征值x_i位于k_ij右侧时，u_i对级别j的相对隶属度 $μ_{A} (u_{i})_{j}$ 按式（5）计算（陈守煜，2009）：

\{\begin{array}{l} {μ_{A}}_{(u_{i}) j} = 0.5 [1 + {(\frac{x_{i} - b_{i j}}{k_{i j} - b_{i j}})}^{r}], x_{i} \in [k_{i j}, b_{i j}] \\ {μ_{A}}_{(u_{i}) j} = 0.5 [1 - {(\frac{x_{i} - b_{i j}}{d_{i j} - b_{i j}})}^{r}], x_{i} \in [b_{i j}, d_{i j}] \end{array}

（5）

式中：r为非负指数，一般取r=1。

2 采空区危险性相对差异函数识别步骤

2.1 确定特征值矩阵

设待评价采空区有s个，影响采空区危险性的评价指标有m个，第q个采空区U_q的第i个指标的特征值为x_iq，则待评价采矿区的特征值矩阵U为

U=（U₁，U₂，…，U_q，…，U_s）=（x_qi）_s_×_m（6）

式中：q=1，2，…，s；i=1，2，…，m。

2.2 确定相对隶属度

（1）确定评价指标的标准区间矩阵 $I_{a b}$ 。将采空区的危险性划分为n个级别，根据各级别对应的每个指标特征值的取值区间（即吸引域），可得到 $I_{a b}$ 为

I_{a b}

=（a，b］_ij）_m_×_n（j=1，2，…，n）（7）

（2）确定评价指标的变动区间矩阵I_cd。结合 $I_{a b}$ 得到I_cd为

I_cd=（［c，d］_ij）_m_×_n（8）

其中：

{[c, d]}_{i j} = \{\begin{array}{l} [a_{i (j - 1)}, b_{i (j + 1)}], 1 < j < n \\ [a_{i 1}, b_{i 2}], j = 1 \\ [a_{i (j - 1)}, b_{i n}], j = n \end{array}

（3）确定D_A（u）_j=1的点值矩阵K。根据式（3）计算D_A（u）_j=1的点k_ij得到K为

K=（k_ij）_m_×_n（9）

（4）确定评价指标的相对隶属度矩阵L_q。根据式（4）~式（5）计算第q个采空区U_q的第i个评价指标对级别j的相对隶属度，得到采空区U_q评价指标的相对隶属度矩阵L_q为

L_q=

{[μ_{A} (x_{q i})_{j}]}_{m \times n}

（10）

2.3 确定评价指标权重

工程领域中最常用的评价指标权重确定方法主要是AHP和熵权法，这2种方法各有优缺点（详见陈朝辉，2018；王新民等，2012；Kong et al.，2020）。因此，本文采用AHP和熵权法相结合的方法确定影响采空区危险性指标的组合权重w_q。

（1）熵权法确定客观权重w_q'。将L_q按下式标准化后得到L_q'。

\{\begin{array}{l} {μ_{A}^{'}}_{(x_{q i}) j} = \frac{μ_{A} (x_{q i})_{j} - m i n (μ_{A} (x_{q})_{j})}{m a x (μ_{A} (x_{q})_{j}) - m i n (μ_{A} (x_{q})_{j})}, 效 益 型 指 标 \\ {μ_{A}^{'}}_{(x_{q i}) j} = \frac{m a x (μ_{A} (x_{q})_{j}) - μ_{A} (x_{q i})}{m a x (μ_{A} (x_{q})_{j}) - m i n (μ_{A} (x_{q})_{j})}, 成 本 型 指 标 \end{array}

（11）

则U_q的第i个评价指标的熵S_qi为

S_{q i} = \{\begin{matrix} - \frac{1}{l n n} \sum_{j = 1}^{n} (f_{q i j} l n f_{q i j}) (f_{q i j} \neq 0) \\ 0 (f_{q i j} = 0) \end{matrix}

（12）

式中： $f_{q i j} = μ_{A}^{'} (x_{q i})_{j} / \sum_{j = 1}^{n} μ_{A}^{'} (x_{q i})_{j}$ 。

则U_q的第i个指标的熵权w_qi'为

w_{q i}' = \frac{1 - S_{q i}}{m - \sum_{i = 1}^{m} S_{q i}}

（13）

（2）AHP确定主观权重w_q''。AHP确定主观权重的计算较简单，因此应用较普遍，其原理不再赘述。

（3）确定评价指标的组合权重w_q，其表达式为

w_q=ηw_q'+（1-η）w_q''（14）

式中：0≤η≤1，η一般取0.5。

2.4 确定综合相对隶属度

根据式（10）和式（14），计算得到的非归一化综合相对隶属度矩阵P_q'= ${[p_{h}^{'} (U_{q})]}_{1 \times h}$ ，其中：

p_{h}^{'} (U_{q}) = {\{1 + {[\frac{\sum_{i = 1}^{m} {[w_{q i} (1 - μ_{A} (x_{q i})_{h})]}^{α}}{\sum_{i = 1}^{m} {[w_{q i} μ_{A} (x_{q i})_{h}]}^{α}}]}^{\frac{β}{α}}\}}^{- 1}

（15）

式中：α为距离参数（α=1为海明距离，α=2为欧式距离）；β为优化准则参数（β=1为最小一乘方准则，β=2为最小二乘方准则）；α和β有4种组合，即：α=1，β=1；α=1，β=2；α=2，β=1；α=2，β=2。

归一化P_q'得到P_q=［ $p_{h}^{} (U_{q})$ ］_1×_h，其中：

p_{h}^{} (U_{q}) = p_{h}^{'} (U_{q}) / \sum_{h = 1}^{n} [p_{h}^{'} (U_{q})]

（16）

根据α和β的4种组合，可以得到4个不同的综合相对隶属度矩阵P_q。

2.5 确定级别特征向量及危险等级

（1）确定级别特征向量H。根据第2.4小节中α、β的4种不同组合得出的4个不同P_q，可计算出U_q的4个不同级别特征值H_q'：

H_{q}^{'} = \sum_{h = 1}^{m} p_{h}^{} (U_{q}) h

（17）

U_q的4个不同级别特征值H_q'的平均值为H_q，则采空区的级别特征向量H=（H₁，H₂，…，H_q，…，H_s）。

（2）确定采空区的危险性等级。根据级别特征值H_q（1≤H_q≤m），按下式可确定采空区U_q的危险性等级：

\{\begin{array}{l} 1.0 \leq H_{q}^{} \leq 1.5, I 级 \\ h - 0.5 < H_{q}^{} \leq h, h 级, 偏 (h - 1) 级 \\ h < H_{q}^{} \leq h + 0.5, h 级, 偏 (h + 1) 级 \\ m - 0.5 < H_{q}^{} \leq m, m 级 \end{array}

（18）

3 实例应用

以某锡矿山采空区的危险性识别为例，说明相对差异函数在采空区危险性识别中的应用。该锡矿山的开采历史已有100多年，前期因考虑投资、开采成本等因素，采用空场采矿法进行开采，因此在浅部留下了大量的采空区，为矿山后续的残矿回收及地面建筑物带来了重大安全隐患。本文运用相对差异函数对该矿山采空区的危险性进行识别，以期为矿山浅部采空区的处理提供依据。

3.1 采空区危险性识别评价指标体系

科学合理地评价指标体系是采空区危险性识别的基础，直接影响识别结果的准确性（付玉华等，2012；Dong et al.，2008；程秋亭等，2015；温廷新等，2015；Qin et al.，2019；陈国芳等，2015）。根据采空区危险性识别研究已取得的成果，以尽量少的评价指标反映采空区的全面信息为原则，结合该锡矿山的实际情况，选取了14个评价指标（图2）。采空区的危险性分级及其对应的各指标标准值区间列于表1和表2中。8个典型采空区各评价指标的特征值调查统计结果见表3。

图2

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图2 采空区危险性识别评价指标体系

Fig.2 Evaluation indexes system of goaf risk identification

表1 采空区危险性识别的定量评价指标分级标准（杜坤等，2011；宫凤强等，2008）

Table 1 Classification criteria of quantitative evaluation indexes for goaf risk identification（Du et al.，2011；Gong et al.，2008）

指标	分级标准
指标	Ⅰ级	Ⅱ级	Ⅲ级	Ⅳ级
岩石质量指标x₁/%	［0，40］	（40，50］	（50，60］	（60，100］
采空区埋藏深度x₆/m		（400，200］	（200，100］	（100，0］
采空区最大跨度x₇/m		（120，80］	（80，40］	（40，0］
采空区最大高度x₈/m		（30，20］	（20，8］	（8，0］
采空区平均高跨比x₉		（3，2］	（2，1］	（1，0］
采空区面积x₁₀/m²		（2 700，1 200］	（1 200，800］	（800，0］

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表2 采空区危险性识别的定性指标分级与赋值（杜坤等，2011；宫凤强等，2008）

Table 2 Classification criteria and assignment of qualitative indexes for goaf risk identification（Du et al.，2011；Gong et al.，2008）

危险级别	赋值	定性指标
危险级别	赋值	地质构造x₂	岩体结构 x₃	地下可见水 x₄	地下水体对围岩的影响x₅	相邻采空区情况x₁₁	矿柱尺寸和布置x₁₂	周围的开采影响x₁₃	工程布置x₁₄
Ⅰ级	［0，1］	断层贯穿围岩	松散结构	长期有淋水	围岩受水体影响较大	影响范围内采空区面积较大，数量较多，相邻较近且比较集中，为采空区群	无矿柱或布置不规范、矿柱已经严重受损	受采场作业影响较大	不合理
Ⅱ级	（1，2］	断层部分切割或褶皱影响大	碎裂结构	雨季有淋水	围岩受水体影响	影响范围内采空区面积大，数量多，但分布较为分散	无矿柱或布置不规范、矿柱开始破坏	受采场作业影响大	部分合理
Ⅲ级	（2，3］	褶皱影响小	层状结构	围岩可见水迹	围岩受水体影响较小	影响范围内采空区面积一般数量不多，且相邻较近	有矿柱，但布置不规范	受采场作业影响一般	比较合理
Ⅳ级	（3，4］	无断层、褶皱	完整块状结构	无淋水水迹	围岩周围无水体	影响范围内无其他采空区，为孤立空区；或者空区位于6R之外（R为孤立空区半径）	有矿柱，且布置规范	无采场作业影响	合理

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表3 采空区危险性识别评价指标调查统计

Table 3 Survey and statistics on evaluation indexes for goaf risk identification

采空区编号	评价指标特征值
采空区编号	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	x₇	x₈	x₉	x₁₀	x₁₁	x₁₂	x₁₃	x₁₄
1^#	38	0.8	0.8	2.8	2.8	115	85	15.0	4.8	3 188	0.8	0.5	0.8	2.8
2^#	56	1.2	1.6	2.8	2.8	115	60	8.0	4.6	3 335	0.8	1.6	0.8	4.0
3^#	35	0.8	0.8	2.8	2.8	145	62	14.5	2.4	2 568	0.8	0.5	0.8	2.8
4^#	48	2.5	1.2	2.8	2.8	180	73	22.0	1.7	6 018	1.5	0.5	0.8	2.8
5^#	43	1.2	0.8	2.8	2.8	253	60	16.5	2.6	3 542	1.8	0.5	0.8	3.0
6^#	47	1.2	2.8	2.8	2.8	83	160	26.3	1.5	3 400	2.5	0.5	1.7	2.8
7^#	55	0.5	1.2	3.5	3.5	253	26	15.8	5.3	2 660	1.8	2.5	0.8	4.0
8^#	57	0.5	2.8	2.8	2.8	90	96	21.0	3.4	5 729	1.5	1.8	1.5	4.0

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3.2 评价指标的相对隶属度计算

限于篇幅，本文仅列出1^#采空区危险性等级识别相关计算的详细过程。根据表1和表2，可确定各评价指标各级的标准区间矩阵I_ab为

I_{a b}^{} = [\begin{matrix} [0, 40] & [40, 50] & [50, 60] & [60, 100] \\ [0, 1] & [1, 2] & [2, 3] & [3, 4] \\ [0, 1] & [1, 2] & [2, 3] & [3, 4] \\ [0, 1] & [1, 2] & [2, 3] & [3, 4] \\ [0, 1] & [1, 2] & [2, 3] & [3, 4] \\ [1 000, 400] & [400, 200] & [200, 100] & [100, 0] \\ [200, 120] & [120, 80] & [80, 40] & [40, 0] \\ [50, 30] & [30, 20] & [20, 8] & [8, 0] \\ [10, 3] & [3, 2] & [2, 1] & [1, 0] \\ [8 000, 2 700] & [2 700, 1 200] & [1 200, 800] & [800, 0] \\ [0, 1] & [1, 2] & [2, 3] & [3, 4] \\ [0, 1] & [1, 2] & [2, 3] & [3, 4] \\ [0, 1] & [1, 2] & [2, 3] & [3, 4] \\ [0, 1] & [1, 2] & [2, 3] & [3, 4] \end{matrix}]

（19）

根据I_ab，由式（8）可确定各评价指标对各级的变动区间矩阵I_cd为

I_{c d}^{} = [\begin{matrix} [0,50] & [0,60] & [40,100] & [50,100] \\ [0,2] & [0,3] & [1,4] & [2,4] \\ [0,2] & [0,3] & [1,4] & [2,4] \\ [0,2] & [0,3] & [1,4] & [2,4] \\ [0,2] & [0,3] & [1,4] & [2,4] \\ [1 000,200] & [1 000,100] & [400,0] & [200,0] \\ [200,80] & [200,40] & [120,0] & [80,0] \\ [50,20] & [50,8] & [30,0] & [20,0] \\ [10,2] & [10,1] & [3,0] & [2,0] \\ [8 000,1 200] & [8 000,800] & [2 700,0] & [1 200,0] \\ [0,2] & [0,3] & [1,4] & [2,4] \\ [0,2] & [0,3] & [1,4] & [2,4] \\ [0,2] & [0,3] & [1,4] & [2,4] \\ [0,2] & [0,3] & [1,4] & [2,4] \end{matrix}]

（20）

根据I_ab和I_cd，由式（3）和式（9），计算出D_A（u）_j=1的点值矩阵K为

K = [\begin{matrix} 40 & 43.33 & 56.67 & 60 \\ 1 & 1.33 & 2.67 & 3 \\ 1 & 1.33 & 2.67 & 3 \\ 1 & 1.33 & 2.67 & 3 \\ 1 & 1.33 & 2.67 & 3 \\ 400 & 333.33 & 133.33 & 100 \\ 120 & 106.57 & 53.33 & 40 \\ 30 & 26.67 & 12 & 8 \\ 3 & 2.67 & 1.33 & 1 \\ 2 700 & 2 200 & 933.33 & 800 \\ 1 & 1.33 & 2.67 & 3 \\ 1 & 1.33 & 2.67 & 3 \\ 1 & 1.33 & 2.67 & 3 \\ 1 & 1.33 & 2.67 & 3 \end{matrix}]

（21）

根据I_ab、I_cd和K，由式（4）~式（5）可计算出1^#采空区的每个评价指标对各级别的相对隶属度。这里以1^#采空区的第6个指标对各级别的相对隶属度为例作一说明。x₁₆=115，由I_ab可知，x₁₆落入Ⅲ级区间［200，100］，因此先计算x₁₆对级别Ⅲ的相对隶属度；由I_ab和K可知，a₁₃=200，b₁₃=100，c₁₃=200，d₁₃=0，k₁₃=133.33，x₁₆位于k₁₃右侧且x₁₆∈［k₁₃，b₁₃］，由式（5）并取r=1得 $μ_{A} (x_{16})_{3} = 0.725$ ；然后计算x₁₆对级别Ⅳ的相对隶属度，a₁₄=100，b₁₄=0，c₁₄=200，d₁₄=0，k₁₄=100，x₁₆位于k₁₄左侧且x₁₆∈［c₁₄，a₁₄］，由式（4）得 $μ_{A} (x_{16})_{4} = 0.425$ ；再计算x₁₆对级别Ⅱ的相对隶属度，a₁₂=400，b₁₂=200，c₁₂=1 000，d₁₂=100，k₁₂=333.33，x₁₆位于k₁₂右侧且x₁₆∈［b₁₂，d₁₂］，由式（4）得 $μ_{A} (x_{16})_{2} = 0.075$ ；由于只有指标落入区间及其相邻区间才有隶属度，故 $μ_{A} (x_{16})_{1} = 0$ 。因此，1^#采空区的第6个指标对各级别的相对隶属度向量 $μ_{A} (x_{16})_{h} = (0,0.075,0.725,0.425)$ 。同理，可得到1^#采空区其余评价指标的相对隶属度向量，进而得到1^#采空区的相对隶属度矩阵L₁为

L_{1} = [\begin{matrix} 0.975 & 0.475 & 0.000 & 0.000 \\ 0.900 & 0.400 & 0.000 & 0.000 \\ 0.900 & 0.400 & 0.000 & 0.000 \\ 0.000 & 0.100 & 0.800 & 0.400 \\ 0.000 & 0.100 & 0.800 & 0.400 \\ 0.000 & 0.075 & 0.725 & 0.425 \\ 0.063 & 0.594 & 0.438 & 0.000 \\ 0.000 & 0.292 & 0.813 & 0.208 \\ 0.871 & 0.371 & 0.000 & 0.000 \\ 0.954 & 0.454 & 0.000 & 0.000 \\ 0.900 & 0.400 & 0.000 & 0.000 \\ 0.750 & 0.250 & 0.000 & 0.000 \\ 0.900 & 0.400 & 0.000 & 0.000 \\ 0.000 & 0.100 & 0.800 & 0.400 \end{matrix}]

（22）

3.3 评价指标的权重计算

（1）熵权法确定客观权重。将上述1^#采空区的相对隶属度矩阵L₁按式（11）标准化（指标x₆~x₁₀为成本型指标，其余9个为效益型指标）得到L₁'，然后根据式（12）和式（13）计算得到1^#采空区评价指标权重向量w₁'=（0.095，0.097，0.097，0.066，0.066，0.044，0.051，0.038，0.040，0.041，0.097，0.104，0.097，0.066）。

（2）AHP确定主观权重。AHP确定的1^#采空区评价指标权重向量w₁''=（0.078，0.039，0.078，0.061，0.042，0.078，0.078，0.078，0.078，0.078，0.078，0.078，0.078，0.078）。

（3）确定评价指标的组合权重。根据式（14），并取η=0.5，确定的1^#采空区评价指标组合权重向量w₁=（0.086，0.068，0.087，0.064，0.054，0.061，0.065，0.058，0.059，0.06，0.087，0.091，0.087，0.072）。

3.4 采空区的综合相对隶属度计算

根据L₁、w₁以及α与β的4种不同组合，由式（15）和式（16）计算得到的1^#采空区归一化后的综合相对隶属度矩阵为

P_{1} = [\begin{array}{l} α = 1, β = 1 \\ α = 2, β = 1 \\ α = 1, β = 2 \\ α = 2, β = 2 \end{array}| \begin{matrix} 0.442 & 0.255 & 0.214 & 0.090 \\ 0.398 & 0.245 & 0.234 & 0.123 \\ 0.657 & 0.197 & 0.129 & 0.017 \\ 0.577 & 0.203 & 0.181 & 0.039 \end{matrix}]

（23）

3.5 确定采空区级别特征值及危险等级

根据式（17）和式（18）确定得到1^#采空区级别特征值及危险性级别见表4。同理，重复上述步骤，可得到其他采空区的级别特征值及危险性级别（表4）。

表4 采空区危险性相对差异函数识别结果

Table 4 Results of goaf risk identification by relative difference function

采空区编号	H'				H	危险性级别
采空区编号	α=1，β=1	α=2，β=1	α=1，β=2	α=2，β=2	H	危险性级别
1^#	1.951	2.081	1.507	1.682	1.806	Ⅱ
2^#	1.718	2.308	1.526	2.043	1.899	Ⅱ
3^#	2.002	2.161	2.373	2.215	2.188	Ⅱ
4^#	1.471	1.601	1.027	1.202	1.326	Ⅰ
5^#	2.931	2.908	3.023	2.850	2.928	Ⅲ
6^#	1.288	1.878	1.096	1.613	1.469	Ⅰ
7^#	2.865	2.824	2.478	2.546	2.678	Ⅲ
8^#	1.424	1.401	1.516	1.343	1.421	Ⅰ

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3.6 采空区危险性识别结果分析

为了验证采空区危险性相对差异函数识别结果的准确性，本文将识别结果与未确知测度理论方法的识别结果进行比较（表5）。由表5可知，2种方法识别结果一致，表明相对差异函数识别采空区风险性结果合理可靠。

表5 相对差异函数与未确知测度理论识别结果比较

Table 5 Comparison of recognition results between relative difference function and uncertainty measurement theory

方法	采空区危险性识别结果								来源
方法	1^#	2^#	3^#	4^#	5^#	6^#	7^#	8^#	来源
相对差异函数	Ⅱ	Ⅱ	Ⅱ	Ⅰ	Ⅲ	Ⅰ	Ⅲ	Ⅰ	本文
未确知测度理论	Ⅱ	Ⅱ	Ⅱ	Ⅰ	Ⅲ	Ⅰ	Ⅲ	Ⅰ	王纪鹏，2017

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4 结论

（1）在采空区危险性识别中，相对差异函数识别模型可通过自身参数的4种组合自我验证识别结果的准确性，体现了模型对评价指标对立统一本质规律的全局掌控，提高了识别结果的可靠性，为采空区危险性识别提供了一种新的方法。

（2）建立了包含14个指标的采空区危险性评价指标体系，并将熵权法和AHP组合运用于评价指标权重确定中，不仅充分挖掘了样本数据自身蕴含的重要信息，而且综合了专家和决策者的知识与经验，使识别结果更加客观合理。

（3）将相对差异函数运用于某锡矿山的8个采空区危险性识别中，确定了各采空区的危险性级别，识别过程简单高效，识别结果准确可靠，为矿山下一步的采空区治理和安全生产提供了理论依据。

（4）相对差异函数风险识别模型不能完全消除模型可变参数取值范围的主观性，此外，采集的指标数据偏差也会造成隶属度函数的变化，从而影响采空区危险性识别结果的准确性。如何消除模型可变参数取值范围的主观性，以及采集的指标数据偏差对采空区危险性识别结果的影响程度如何，还需在未来进行更深入的研究。

http://www.goldsci.ac.cn/article/2021/1005-2518/1005-2518-2021-29-3-440.shtml

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... 科学合理地评价指标体系是采空区危险性识别的基础，直接影响识别结果的准确性（付玉华等，2012；Dong et al.，2008；程秋亭等，2015；温廷新等，2015；Qin et al.，2019；陈国芳等，2015）.根据采空区危险性识别研究已取得的成果，以尽量少的评价指标反映采空区的全面信息为原则，结合该锡矿山的实际情况，选取了14个评价指标（图2）.采空区的危险性分级及其对应的各指标标准值区间列于表1和表2中.8个典型采空区各评价指标的特征值调查统计结果见表3. ...

Comprehensive evaluation of underground goaf risk and engineering application

2011

... Classification criteria of quantitative evaluation indexes for goaf risk identification（Du et al.，2011；Gong et al.，2008） ...

... Classification criteria and assignment of qualitative indexes for goaf risk identification（Du et al.，2011；Gong et al.，2008） ...

A new method of the relative membership degree calculation in variable fuzzy sets for water quality assessment

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Multiple indexes identification model for the prediction of goaf collapse

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Study on stability evaluation of layered deposit goaf based on BP neural network

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Integrated index for drought assessment based on variable fuzzy set theory：A case study in the Yellow River basin，China

2015

... 相对差异函数是陈守煜教授于2005年在可变模糊集理论中创立的一种可以解决评价因素间矛盾与相容、定性与定量问题的数学方法（阮云凯等，2016；Fang et al.，2019），在水力水电工程（陈守煜，2009）、公共安全评价（尉强，2019；Huang et al.，2015）和公路隧道交通（陈朝辉，2018）等工程领域得到了广泛运用. ...

Study on fuzzy evaluation system of the complex goaf stability in metal mine

2019

Evaluation of environmental impact of construction waste disposal based on fuzzy set analysis

2020

... 工程领域中最常用的评价指标权重确定方法主要是AHP和熵权法，这2种方法各有优缺点（详见陈朝辉，2018；王新民等，2012；Kong et al.，2020）.因此，本文采用AHP和熵权法相结合的方法确定影响采空区危险性指标的组合权重w_q. ...

Review on research status of controlling techniques for goaf disaster in metal mine

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RS-SVM model for predicting underground goaf collapse risk

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Identification of large-scale goaf instability in underground mine using particle swarm optimization and support vector machine

2013

... 我国是世界金属矿开采第一大国，拥有地下金属矿山1万多座，每年开采出金属矿石20亿t以上（马海涛等，2014）.20世纪50年代以来，为了节约投资，降低开采成本，我国多数矿山早期均采用空场采矿法开采，加之一定时期内存在的矿业开采秩序混乱和非法乱采滥挖等问题，我国25个省、区内留下的采空区超过4.32亿m³（马海涛等，2014；杜坤等，2011；邓高等，2017）.大量的采空区已累计造成200多处大规模采空区地质灾害，70多万公顷的塌陷面积，以及超过500亿元的经济损失，不仅带来了一系列的安全、环境等社会问题，而且严重影响了我国矿产资源的开发和国民经济的健康持续发展（汪朝等，2015；Zhou et al，2013）.采空区的危险性识别是采空区治理的重要依据，因此，如何准确地识别采空区的危险性成为政府监管部门和企业安全生产中亟需解决的问题之一. ...

改进物元可拓模型在采空区安全性评价中的应用

2015

可变模糊集理论与模型及其应用

2009

... 设A为论域U上的一个模糊概念，U中的任意元素u（即u∈U）吸引A的相对隶属度为

μ_{A} (u)

、排斥A的相对隶属度为

μ_{_{A}}^{c} (u)

，当

μ_{A} (u)

μ_{_{A}}^{c} (u)

时，u以吸引A为主要特性；当

μ_{A} (u)

μ_{_{A}}^{c} (u)

时，u则以排斥A为主要特性.根据矛盾的对立统一性，当u发生变质，即从

μ_{A} (u)

μ_{_{A}}^{c} (u)

变为

μ_{A} (u)

μ_{_{A}}^{c} (u)

时，必然通过质变界

μ_{A} (u)

μ_{_{A}}^{c} (u)

（陈守煜，2009），u的这一质变界的数学定义如下： ...

... 已知待评价对象U有m个评价指标，即U=（u₁，u₂，…，u_m），评价对象有n个评价级别.对级别j（j=1，2，…，n）指标u_i（i=1，2，…，m）的吸引域为［a_ij，b_ij］、最大变化区间为［c_ij，d_ij］，且［a_ij，b_ij］∈［c_ij，d_ij］，则指标u_i的排斥域为［c_ij，a_ij］和［b_ij，d_ij］.设k_ij为吸引域［a_ij，b_ij］中D_A（u）_j=1的点，视k_ij为线性变化，根据相对差异函数原理，k_ij可由式（3）计算（陈守煜，2009）： ...

... 当u_i特征值x_i位于k_ij左侧时，u_i对级别j的相对隶属度

μ_{A} (u_{i})_{j}

按式（4）计算（陈守煜，2009）： ...

... 当u_i特征值x_i位于k_ij右侧时，u_i对级别j的相对隶属度

μ_{A} (u_{i})_{j}

按式（5）计算（陈守煜，2009）： ...

基于相对差异函数的砌石隧道安全性评价

2018

采空区稳定性数值模拟分析

2015

基于组合预测与变精度粗糙模糊集的采空区稳定性评价

2017

采空区危险性评价的综合方法及工程应用

2011

... 影响采空区稳定性的因素很多，采空区危险性识别具有定量与定性因素共存、因素之间存在矛盾以及危险性等级划分界线模糊等特点.许多学者对采空区稳定性评价进行了大量研究，并提出了许多各具特色的识别方法，主要有模糊神经网络预测法（胡洪旺等，2018）、主成分分析法（王纪鹏，2017）、未确知测度理论法（宫凤强等，2008）、模糊综合评价法（黄英华等，2019）、物元分析法（杜坤等，2011）、突变级数法（耿宏波等，2018）和灰色关联分析法（任红岗等，2016）等.然而，神经网络预测法和主成分分析法对样本的需求量较大，样本数据选取困难，识别结果易受样本规模的影响；模糊综合评价法和物元分析法以最大隶属度或关联度对级别进行归属，存在信息丢失的问题，可能会导致错误的识别结果；未确知测度理论法的识别结果与置信度因子的确定有关，而置信度因子的确定主观性强；突变级数法仅考虑了指标的相对重要性，忽略了各指标的权重影响；灰色关联分析法只能对采空区之间的相对危险性进行识别，难以确定采空区的危险等级.因此，上述方法均有一定程度的局限性，难以充分反映出事物、现象之间对立统一的本质规律. ...

... 采空区危险性识别的定量评价指标分级标准（杜坤等，2011；宫凤强等，2008） ...

... 采空区危险性识别的定性指标分级与赋值（杜坤等，2011；宫凤强等，2008） ...

采空区塌陷预测的多元识别模型

2012

基于突变级数法的采空区危险性评价研究

2018

基于未确知测度理论的采空区危险性评价研究

2008

... 采空区危险性识别的定量评价指标分级标准（杜坤等，2011；宫凤强等，2008） ...

... 采空区危险性识别的定性指标分级与赋值（杜坤等，2011；宫凤强等，2008） ...

基于BP神经网络的层状矿床采空区稳定性评价研究

2018

金属矿山复杂采空区稳定性模糊评价体系研究

2019

金属矿山采空区灾害防治技术研究综述

2014

... （马海涛等，2014；杜坤等，2011；邓高等，2017）.大量的采空区已累计造成200多处大规模采空区地质灾害，70多万公顷的塌陷面积，以及超过500亿元的经济损失，不仅带来了一系列的安全、环境等社会问题，而且严重影响了我国矿产资源的开发和国民经济的健康持续发展（汪朝等，2015；Zhou et al，2013）.采空区的危险性识别是采空区治理的重要依据，因此，如何准确地识别采空区的危险性成为政府监管部门和企业安全生产中亟需解决的问题之一. ...

基于集对分析—灰色关联理论的采空区处理多属性方案综合评价

2016

基于相对差异函数和博弈论的泥石流敏感性分析

2016

基于主成分的采空区危险性关联因子聚类分析

2017

基于熵权法和物元分析的采空区危险性评价研究

2012

采空区危险性的支持向量机识别

2015

矿区采空塌陷危险性预测的RS-SVM模型

2015

基于变权和相对差异函数的地铁运营安全管理评价

2019

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