基于变权联系云的采空区稳定性二维评价模型

doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2020.01.052

基于变权联系云的采空区稳定性二维评价模型

邓红卫^,, 张维友, 虞松涛, 高宇旭

中南大学资源与安全工程学院，湖南长沙 410083

Two Dimensional Evaluation Model of Goaf Stability Based on Variable Weight Contact Cloud

DENG Hongwei^,, ZHANG Weiyou, YU Songtao, GAO Yuxu

School of Resources and Safety Engineering，Central South University，Changsha 410083，Hunan, China

收稿日期: 2019-05-20 修回日期: 2019-10-18 网络出版日期: 2020-03-06

基金资助:

国家自然科学基金项目“寒区岩质散体冻胀裂解孕育排土场灾变机理及干预机制研究”. 51874352

Received: 2019-05-20 Revised: 2019-10-18 Online: 2020-03-06

作者简介 About authors

邓红卫（1969-），男，湖南岳阳人，教授，从事金属矿山开采、矿山安全、水资源利用与灾害防治工作denghw208@126.com , E-mail：denghw208@126.com

摘要

针对采空区稳定性评价具有模糊性、随机性以及评价指标等级呈有限区间正态分布等问题，考虑评价指标值突变对评价指标权重的影响，提出了基于变权联系云的采空区稳定性二维评价模型。首先选取12个评价指标构建采空区评价指标体系，并通过各指标联系云图反映其实际分布情况；然后利用博弈论和变权理论得到变权权重；最后计算采空区各评价指标对应等级的确定度和采空区的综合确定度，并根据最大隶属度原则确定采空区稳定性等级。为解决指标等级归属不一致的问题，引入模糊熵作为第二维评价系统，以表征采空区稳定性的复杂度。结果表明：变权联系云模型评价结果与实例应用结果一致，验证了该模型的可行性与合理性。

关键词： 采空区稳定性 ; 变权理论 ; 联系云 ; 组合权重 ; 确定度 ; 模糊熵

Abstract

The instability of the goaf poses serious threat to mine safety，and its stability is affected by many uncertain factors.Therefore，it is very important to evaluate the stability of the goaf.Many factors affect the result in the evaluation process，for instance，many ambiguity and randomness information exist in the evaluation of the goaf stability，the evaluation index interval normally distributed，dynamic combination of different evaluation index affect the weight values，and the inconsistency of the indicator level.In order to solve these problems，a two-dimensional evaluation model of goaf stability based on variable-weighted cloud was established.On the basis of comprehensive consider the actual situation of the goaf and related research results，the stability evaluation system and grading standards of the goaf were established.The digital characteristics of the contact cloud of each evaluation index belonging to different levels were calculated respectively，and then the contact cloud maps were generated by using the contact cloud generator and Rstudio software.Substituting the measured values of the sample indicators into the contact cloud model to calculate the degree of certainty of the contact cloud.After that，the subjective weight and objective weight were calculated by using the analytic hierarchy process and the entropy weight method respectively.Considering the advantages and disadvantages of the subjective and objective weighting methods，the game theory was used to fuse these two empowerment methods to obtain the optimized comprehensive weight.Considering that comprehensive weights calculated by game theory were constant weight，which could not reflect the influence of the index value on the weight，the variable weight theory was used to change the weight to obtain the variable weight，so as to better display the effect of dynamic change of the index value on evaluation result.The comprehensive determination degree of the goaf was then obtained by calculating the certainty degree of measured index value belongs to each contact level cloud and the final variable weight.After that，the stability level of the gob was determined according to the principle of maximum membership degree.In order to solve the problem of inconsistent index level attribution，fuzzy entropy was introduced as the second dimension evaluation auxiliary parameter to characterize the stability complexity of the goaf.The model was applied to engineering practice and compared with traditional cloud model and matter-element extension model，the evaluation results are basically the same.The results show that the stability evaluation model of the goaf is scientific and reasonable，and it provides a new idea for the stability evaluation of goaf and the stability evaluation of similar projects.

Keywords： goaf stability ; variable weight theory ; contact cloud ; combined weight ; certainty ; fuzzy entropy

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本文引用格式

邓红卫, 张维友, 虞松涛, 高宇旭. 基于变权联系云的采空区稳定性二维评价模型[J]. 黄金科学技术, 2020, 28(1): 32-41 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2020.01.052

DENG Hongwei, ZHANG Weiyou, YU Songtao, GAO Yuxu. Two Dimensional Evaluation Model of Goaf Stability Based on Variable Weight Contact Cloud[J]. Gold Science and Technology, 2020, 28(1): 32-41 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2020.01.052

随着浅部矿产资源的逐渐枯竭，矿山开采逐步向地下深部转移。在地下开采过程中，采空区失稳会引发各类安全事故，轻则影响井下正常生产活动、损害井下生产设备，重则危害井下人员的生命安全。因此，对采空区稳定性进行科学合理的评价具有十分重要的意义。采空区稳定性评价与许多不确定性因素相关，为此学者们提出了多种理论方法对采空区稳定性进行研究，如物元可拓理论^[1,2]、模糊数学理论^[3,4]、粗糙集理论^[5,6]、贝叶斯判别理论^[7]、云模型理论^[8,9,10]和灰色关联分析理论^[11]等，并在实际应用中取得了一定的成果。但上述理论方法存在着一定的弊端，如物元可拓法对于离散的优化问题处理效果不佳，容易忽略一些主要约束条件，只能定量描述事物特征；模糊数学评价法难以确定隶属度函数和权重；传统的云模型虽然能够实现定性与定量之间的不确定性转换，并描述指标等级区间转换的模糊性，但要求指标区间呈无限区间的正态分布，这与实际指标区间呈有限区间正态分布的情况不符。上述方法多数从等级评定结果一个维度对采空区稳定性状态作出定论，无法解决采空区稳定性评价在各评价指标等级归属不一的情况下的综合评判问题，难以呈现采空区稳定性状态的真实面貌。此外，上述评价方法通常采用常权重来计算，当主导评价指标在其所属等级区间的指标值发生较大变化，而各评价指标的权重却依旧保持不变时，就会忽略主导评价指标对采空区稳定性的影响以及各评价指标在不同组合状态下对于采空区稳定性的相对重要性和偏好性。

针对以上问题，本文将变权理论、模糊熵理论、集对论和云模型引入采空区稳定性评价中，建立基于变权联系云的采空区稳定性二维评价模型。利用集对论与云模型耦合形成的联系云模型进行采空区稳定性评价，克服了传统云模型中指标等级区间必须呈无限区间正态分布的缺点，能够将指标等级区间转换为有限区间正态分布，实现了实测指标值在指标等级区间的确定性与不确定性的统一。利用模糊熵构建二维评判参量，分别从评价等级结果和指标等级归属复杂度2个维度进行采空区稳定性的评判。利用变权理论确定权重，能够克服传统固定常权重无法反映在评价过程中的一些缺陷，如：某采空区的某项评价指标值变化过大，以及各评价指标值在不同组合状态下对采空区稳定性评价结果的影响等。变权理论能够根据评价指标值的变化来调整评价指标的权重，这种利用指标值状态变化来确定权重的方法，能够更加科学准确地反映评价结果，从而更好地应用于工程实际中。

1 基本理论

1.1 联系云

云模型是李德毅院士等^[12]于1995年提出的一种能够实现定性概念与其定量表示的不确定性转换模型，它能够很好地实现客观事物的模糊性与随机性的统一。传统云模型在实际应用中要求评价指标值呈理想的无限区间正态分布，这与实际指标值呈有限区间正态分布的情况不符，容易造成评价结果失真。近年来，将集对分析理论引入云模型中建立起来的联系云模型^[13,14]，对传统云模型进行了修正和改进，很好地解决了评价指标呈无限区间正态分布的缺陷。联系云模型能够充分反映实测指标值呈有限区间正态分布的特点，因此在实际应用中联系云模型比传统云模型更具适用性。

联系云的定义^[14]如下：首先将不确定性研究对象划分为i（i=1，2，…，m）个等级，其相对应的评价指标有j（j=1，2，…，n）个；然后评价指标j对应第i等级的联系云可由以 $E_{x}^{i}$ 为分界点的左、右2个非对称联系云构成，其中相应的联系云滴x_i可由联系云的数字特征组（E_x，E_n，H_e，a，k）和联系云滴数产生。联系云滴x_i的确定度u_i的计算模型为

u_{i} = {[1 - {(\frac{x_{i} - E_{x}^{i}}{a_{i}^{'}})}^{2}]}^{λ_{i}}

（1）

a_{i}^{'} = E_{n}^{i^{'}} \sqrt[]{2 λ_{i} + 3}

（2）

E_{x}^{i} = \frac{L_{m a x}^{i} + L_{m i n}^{i}}{2}

（3）

E_{n}^{i} = \frac{a_{i}}{\sqrt[]{2 λ_{i} + 3}}

（4）

H_{e}^{i} = ϕ

（5）

λ_{i} = \frac{l g 0.5}{l g [1 - {(\frac{y_{i} - E_{x}^{i}}{a_{i}})}^{2}]}

（6）

式中： $E_{x}^{i}$ 、 $E_{n}^{i}$ 和 $H_{e}^{i}$ 分别为左、右半支第i等级联系云的期望值、熵值和超熵； $L_{m a x}^{i}$ 和 $L_{m i n}^{i}$ 分别为等级i的区间上、下限； $ϕ$ 为常数，取值为0.01； $λ_{i}$ 为对应于 $a_{i}^{'}$ 的分布密度函数的阶数； $y_{i}$ 为 $L_{m a x}^{i}$ 或 $L_{m i n}^{i}$ ；a_i和 $a_{i}^{'}$ 分别为第i等级联系云半区间和修正半区间长度。

若评价指标为效益型指标，即分类等级标准区间随等级的增大而增大，则指标等级i的左、右半区间可表示为

\{\begin{array}{l} a_{左}^{i} = E_{x}^{i} - L_{m i n}^{i - 1} \\ a_{右}^{i} = L_{m a x}^{i + 1} - E_{x}^{i} \end{array}

（7）

若评价指标为成本型指标，即分类等级标准区间随等级的增大而减小，则指标等级i的左、右半区间可表示为

\{\begin{array}{l} a_{左}^{i} = E_{x}^{i} - L_{m i n}^{i + 1} \\ a_{右}^{i} = L_{m a x}^{i - 1} - E_{x}^{i} \end{array}

（8）

1.2 变权理论

20世纪80年代，汪培庄^[15]首次提出了变权思想；20世纪90年代，李洪兴^[16]基于因素空间理论系统地对变权理论进行了研究。变权理论的定义^[17]如下：

定义1：一组变权是指下述m个映射W_i(i=1,2, $\dots$ ,m)，[0,1]^m $\to$ [0,1],（x₁,x₂, $\dots$ ,x_m） $\to$ W_i(x₁,x₂, $\dots$ ,x_m）满足以下条件：

（1）归一性： $\overset{m}{\sum_{i = 1}} W_{i}$ (X₁,X₂, $\dots$ , $X_{m}$ )；

（2）连续性： $W_{i}$ ( $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{m}$ )( $i = 1,2, \dots, m$ )关于每个变元x_i连续；

（3）单调性： $W_{i}$ ( $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{m}$ )( $i = 1,2, \dots, m$ )关于每个变元x_i在区间[0，α_i]内单调递减（惩罚性变权），而在区间[β_i，1]递增（激励型变权），其中， $α_{i}, β_{i} \in$ [ $0,1$ ]且 $α_{i} \leq β_{i}$ 。

定义2：构造映射S:[ $0,1$ ]^m $\to$ [0,1]^m, $X$ $\to$ S(X)=[S(X₁),S(X₂), $\dots$ ,S(X_m)]，则称S（X）为一个m维状态变权向量，并满足以下条件：

（1）若 $x_{i} \geq x_{j} \Rightarrow$ $S_{j}$ (X)≤ $S_{j}$ (X)，可得m维惩罚型状态变权向量；

（2）若 $x_{i} \geq x_{j} \Rightarrow$ $S_{j}$ (X)≥ $S_{j}$ (X)，可得m维激励型状态变权向量；

（3） $S_{i}$ (X)对每个变元连续（i=1，2，…，m）；

（4）任何满足定义1下的常权向量 $W$ =（ $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}$ ）下有：

W (X) = \frac{W \cdot S (X)}{\overset{m}{\sum_{i = 1}} w_{j} S_{j} (X)}

（9）

式中：W（X）为变权重向量；W（X）·S(X)=[w₁S₁(X),w₂S₂(X), $\dots$ ,w_mS_m(X)]称为Hardarmard之积。

2 基于变权联系云的采空区稳定性评价模型

2.1 基本原理和步骤

基于变权联系云的采空区稳定性评价模型的基本原理：首先根据采空区稳定性指标分级标准，确定每个等级区间的期望值和区间上下限，并计算得到每个等级区间的左、右联系云半区间长度，进而计算得到左、右半支联系云数字特征组（E_x，E_n，H_e，a，k），再使用正向联系云发生器生成联系云；然后将采空区实测数据代入联系云模型中，计算各指标的确定度，并结合变权理论得到的变权权重确定各采空区稳定性等级的综合确定度，按“最大隶属度原则”确定采空区稳定性等级；最后利用模糊熵来解释指标等级归属度不一致的问题，并表征采空区稳定性的复杂度。

采空区稳定性评价的基本步骤如下：

Step 1：根据工程实际情况并参考相关文献，选取符合实际的采空区稳定性评价指标，并建立指标分级标准；

Step 2：根据采空区稳定性指标分级标准，计算采空区各稳定性等级的联系云特征参数，并通过正向联系云发生器生成采空区各等级联系云模型；

Step 3：利用博弈论对主、客观权重进行组合赋权得到组合常权重，再利用变权理论得到变权重；

Step 4：将实测采空区样本数据代入模型中进行计算，得到采空区各评价指标隶属于各等级的确定度，结合变权权重，确定采空区稳定性等级，最后利用模糊熵表征采空区稳定性的复杂度。

为了更加直观地展示评价步骤，绘制了采空区稳定性评价流程图，如图1所示。

图1

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图1 评价模型流程图

Fig.1 Flow chart of evaluation model

2.2 构建采空区稳定性评价指标体系

影响采空区稳定性的因素众多，在综合考虑采空区实际情况和参考相关文献^[5,6]的基础上，选取12个评价指标建立了采空区稳定性评价指标体系。将采空区稳定性划分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ级^[5,6]，分别表示稳定性极高、较高、一般和较低4种状态，采空区稳定性评价指标分级标准如表1所示。

表1 采空区稳定性评价指标分级标准

Table 1 Classification criteria for goaf stability evaluation indicators

分组	评价指标	Ⅳ级	Ⅲ级	Ⅱ级	Ⅰ级
定性指标	评分值	[0，25）	[25，50）	[50，75）	[75，100]
	岩体构造C₁ （效益型）	块夹泥、泥夹块结构	镶嵌、层状碎裂和碎裂结构	层状和板状结构	整体、块状和菱块状结构
	地质构造C₂ （效益型）	断层贯穿围岩和矿体	褶皱影响大或断层部分切割	褶皱对采空区影响小	无断层、褶皱构造
	水文状况C₃ （效益型）	采空区内存在大量涌水情况	采空区内存在的地下水水量很大	采空区内存在的地下水水量较少	采空区内不存在地下水
	工程布置C₄ （效益型）	运输、采准、切割布置极不合理，不考虑空区稳定性	运输、采准、切割布置不合理，很少考虑空区稳定性	运输、采准、切割布置较合理，考虑到空区稳定性	运输、采准、切割布置合理，充分考虑空区稳定性
	爆破扰动影响C₅ （效益型）	爆破扰动对采空区影响很大	爆破扰动对采空区影响较大	爆破扰动对采空区影响一般	爆破扰动对采空区没有影响
	相邻空区分布C₆ （效益型）	影响范围内采空区数量很多，且集中分布	影响范围内采空区数量多，但分布较分散	影响范围内采空区数量较少	影响范围内无采空区
	支护情况C₇ （效益型）	无支护	支护不合理	支护较合理	支护合理
定量指标	岩石抗压强度C₈/MPa（效益型）	0~50	50~100	100~200	>200
	岩石质量指标C₉/%（效益型）	0~40	40~50	50~60	>60
	顶板暴露面积C₁₀/m²（成本型）	>2 700	1 200~2 700	800~1 200	0~800
	跨度C₁₁/m （成本型）	>120	80~120	40~80	0~40
	埋藏深度C₁₂/m （成本型）	>350	300~350	250~300	0~250

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基于上述理论建立的联系云模型，并根据采空区稳定性分级标准，由式（2）~式（7）可计算出采空区稳定性评价指标的联系云数字特征组（E_x，E_n，H_e，a，k），再根据式（1）模拟得到采空区稳定性指标j隶属于等级i的1 000个云滴，即可构成采空区稳定性指标j隶属于等级i的联系云图（图2）。图2中横坐标对应的是采空区稳定性评价指标量值，纵坐标对应的是联系云滴对应某一稳定性等级的确定度，其中图2（a）~2（c）从左到右分别代表指标等级Ⅳ~Ⅰ所对应的联系云，而图2（d）~2（f）从左到右分别代表指标等级Ⅰ~Ⅳ所对应的联系云。由于指标2~7与指标1的联系等级云相似，限于篇幅，只列出指标1（岩体构造）的联系云。

图2

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图2 各评价指标隶属于采空区稳定性等级的联系云图

Fig.2 Contact cloud diagram of each evaluation indicator belongs to the the goaf stability level

2.3 变权权重确定

变权权重的获得是建立在常权权重的基础上，本文采用层次分析法获取主观权重W_主，采用熵权法获取客观权重W_客，然后利用博弈论进行综合赋权，从而得到组合常权重W_合。该方法将主、客观赋权的优点相结合，即同时兼顾决策者对指标因素的主观偏好和指标本身对于研究对象的重要性。

博弈论确定组合常权重步骤^[18]如下：对于研究的多指标评价问题，可以使用S种方法科学合理地赋权，得到权重向量 $w_{k} = \{w_{k 1}, w_{k 2}, \dots, w_{k n}\}$ （k=1，2，…，s），将其进行线性组合，可表示为

w = \overset{s}{\sum_{k = 1}} α_{k} \cdot w_{k}^{T}

（

α_{k} > 0

）（10）

将上式中的线性组合系数α_k进行优化处理，使w与各个w_k的离差最小化，便可得到一个最满意的 $w_{k}^{*}$ 。其对策模型如下：

m i n {‖\overset{L}{\sum_{k = 1}} a_{k} w_{k}^{T} - w_{k}‖}_{2}

（

k = 1,2, \dots, L

）（11）

根据矩阵微分性质，可以求等价于式（10）的最优化导数条件线性方程组：

|\begin{matrix} w_{1} \cdot w_{1}^{T} & w_{1} \cdot w_{2}^{T} & \dots & w_{1} \cdot w_{L}^{T} \\ w_{2} \cdot w_{1}^{T} & w_{2} \cdot w_{2}^{T} & \dots & w_{2} \cdot w_{L}^{T} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ w_{L} \cdot w_{1}^{T} & w_{L} \cdot w_{2}^{T} & \dots & w_{L} \cdot w_{L}^{T} \end{matrix}| |\begin{matrix} α_{1} \\ α_{2} \\ ⋮ \\ α_{L} \end{matrix}| = |\begin{matrix} w_{1} \cdot w_{1}^{T} \\ w_{2} \cdot w_{2}^{T} \\ ⋮ \\ w_{L} \cdot w_{L}^{T} \end{matrix}|

（12）

对求解出的（a₁，a₂，…，a_L）进行归一化处理：

α_{k}^{*} = \frac{α_{k}}{\overset{L}{\sum_{k = 1}} α_{k}}

（13）

则可得到综合权重：

w_{k}^{*} = \overset{L}{\sum_{k = 1}} α_{k}^{*} w_{k}^{T}

（14）

但该方法获得的权重仍是常权权重，无法体现指标值变化对权重的影响，因此需要运用变权理论对其进行变权处理。变权理论的核心是指标权重能够根据因素状态向量的变化而变化，从而更好地体现指标值的状态变化对评价结果的影响。变权权重向量可通过状态变权向量对常权向量进行调整而获得。状态变权向量记为S(X)=[S₁(X),S₂(X), $\dots$ ,S_m(X)]。状态变权向量又可划分为惩罚型和激励型2种。惩罚型变权模型注重考虑各指标因素的均衡性，指标权重会随着指标值的降低而增大，惩罚指标值低的因素；激励型变权模型对于各指标因素的均衡性要求一般，指标权重会随着指标值的升高而增大，激励指标值高的因素。为使评价结果更好地反映采空区稳定性情况，并体现各指标因素的平衡性，本文采用惩罚型变权模型。

构建状态变权向量S（X）是变权的关键步骤，状态变权向量的类型有多种，包括线性型、指数型、对数型和抛物线型等。鉴于指数型状态变权向量具有灵活设置调权参数、拟合效果好和扩展能力强等特点^[19]，本文采用指数型状态变权向量进行研究分析。

S_{j} (X_{i}) = \{\begin{array}{l} e^{- α (x_{i j} - β)} \\ 1 \end{array}

\begin{matrix} {x_{i}}_{j} \leq β \\ {x_{i}}_{j} > β \end{matrix}

（15）

式中：j=1，2，…，n；α≥0；0≤β≤1；α为惩罚水平，α越小，表示决策者对各指标的平衡性要求越大；β为否定水平，当x_ij的值不超过否定水平β的取值时，通过变权向量增大指标值x_ij的权重，可实现对其惩罚目的。在实际评价过程中，可根据决策要求自行确定α和β的取值。本文取α=0.5，β=0.4。

2.4 综合确定度计算及评价等级确定

根据正向高斯联系云算法，计算各实测指标值隶属于各联系等级云的确定度，结合变权理论确定的指标变权重，可计算得到各采空区稳定性综合确定度u_i：

u_{i} = \overset{u}{\sum_{j = 1}} u_{i j} w_{j}

（16）

式中：u_ij为第j指标的实测指标值属于等级i的确定度；w_j为评价指标j的权重。

根据所得综合确定度的值，按最大隶属度原则就可以判断各采空区稳定性所属等级K：

K = m a x \{u_{_{1}}, u_{_{2}}, \dots, u_{m}\}

（17）

2.5 利用模糊熵理论确定采空区稳定性评价结果的复杂度

最大隶属度原则是将最大综合确定度所对应的等级作为采空区稳定性等级，当各个指标的隶属等级相差不大或隶属等级相等时，难以确定采空区的稳定性等级，容易造成评判结果失真。为解决此问题，引入模糊熵来评判采空区稳定性评价方法的优劣。模糊熵^[20,21]是处理模糊信息的基本函数，可用来表示模糊集合的模糊性程度。考虑到采空区稳定性评价涉及的评价指标多、包含大量信息以及评价指标归属等级不一致，引入模糊熵E作为采空区稳定性评价结果的辅助参量，得到二维评价结果（K，E）。模糊熵E的计算模型如下：

E = m \overset{n}{\sum_{i = 1}} [u_{i} l n u_{i} + (1 - u_{i}) l n (1 - u_{i})]

（18）

m = - 1 / l n [{(1 - n)}^{1 - n} n^{n}]

（19）

式中：n为采空区稳定性总等级数，i=1，2，…，n；u_i为采空区稳定性对应等级i的等级综合确定度；m为标准化系数。

将采空区稳定性等级评定结果的复杂度与模糊熵E的对应关系规定如下：[0，0.25]，[0.25，0.5]，[0.5，0.75]，[0.75，1.0]分别对应模糊性低、一般、较高和高4种情况。当模糊熵处于区间[0，0.5]时，表示各指标等级归属一致，即采空区稳定性的综合等级评价结果复杂度较低，评价结果的确定性较大；当模糊熵处于区间（0.5，1.0]时，表示各指标等级归属差别很大，即采空区稳定性的综合等级评价结果复杂度较高，评价结果的确定性较小。

3 应用实例

为验证所建立的变权联系云模型在采空区稳定性评价中的可靠性和可行性，采用文献[4]的采空区实测数据进行验证与对比分析，各采空区实测指标数据见表2。

表2 采空区稳定性评价指标实测值

Table 2 Measured values of goaf stability evaluation indicators

采空区编号	评价指标实测值
采空区编号	C₁	C₂	C₃	C₄	C₅	C₆	C₇	C₈	C₉	C₁₀	C₁₁	C₁₂
1	40	45	35	55	45	40	70	83	47	1 121	100	300
2	50	65	55	60	45	55	75	91	48	973	65	325
3	10	15	10	20	25	15	55	89	47	936	79	330
4	65	45	50	70	40	55	60	87	45	1 104	70	275
5	30	35	45	40	45	50	60	77	43	1 045	88	330
6	65	55	80	60	65	60	75	86	56	1 034	76	255
7	80	85	90	75	90	65	85	83	42	1 057	82	290
8	60	65	55	70	55	65	50	85	44	1 156	78	275
9	45	50	30	50	40	45	35	76	51	907	85	300
10	35	30	35	40	45	40	50	71	48	1 032	71	345

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（1）指标权重确定。根据层次分析法和熵权法计算出主、客观权重分别为：W_主=（0.1567，0.1567，0.1600，0.0033，0.0700，0.15，0.2066，0.0067，0.0400，0.0033，0.0100，0.0367），W_客=（0.0975，0.1428，0.2055，0.0153，0.0606，0.0959，0.2291，0.0333，0.0477，0.0159，0.0228，0.0335）。利用博弈论将主、客观权重进行权重融合，得到组合常权重W_合=（0.1478，0.1546，0.1569，0.0049，0.0686，0.1419，0.1776，0.0543，0.0411，0.0052，0.0119，0.0362）。由式（15）计算各采空区变权状态向量S（X），又由式（14）计算得到变权向量W（X）=（0.1496，0.1527，0.1545，0.0048，0.0672，0.1491，0.1718，0.0592，0.0498，0.005，0.0012，0.0351）。

（2）计算综合确定度和评定稳定性等级。现以采空区1中的岩体构造（x=40）为例，阐述其对联系云相关度的计算过程。由式（1）计算得到各稳定性等级的确定度为u_1，11=0.0101，u_1，21=0.9764，u_1，31=0.0703，u_1，41=0，表明采空区1的岩体构造（x=40）隶属于采空区稳定性等级Ⅱ的可能性最大，其次是等级Ⅰ和等级Ⅲ，而隶属于等级Ⅳ的可能性为0。同理可得采空区1其他指标关于各等级的确定度（表3）。

表3 采空区1各指标关于4个稳定性等级的确定度

Table 3 Determination of the four stability levels of each indicator in the goaf 1

确定度	采空区稳定性评价指标
确定度	C₁	C₂	C₃	C₄	C₅	C₆	C₇	C₈	C₉	C₁₀	C₁₁	C₁₂
Ⅰ	0.0101	0.2668	0.0703	0	0.2668	0.0101	0.0101	0.0047	0	0.0178	0	0
Ⅱ	0.9764	0.7844	0.9741	0.2319	0.7844	0.9764	0.9764	0.9342	0.8996	0.7761	0.0315	0.5001
Ⅲ	0.0703	0.2319	0.0101	0.7844	0.2319	0.0703	0.0703	0.2393	0.1393	0.3998	1	0.5001
Ⅳ	0	0	0	0.0003	0	0	0	0	0	0	0.0315	0

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采用同样的方法可得其他采空区各指标关于各个等级的确定度，然后通过式（16）计算得到各采空区稳定性等级的综合确定度，并按照最大隶属度原则，就可确定每个采空区的稳定性等级。最后，通过式（18）和式（19）计算得到模糊熵，据此表征采空区稳定性的复杂度，结果见表4。

表4 采空区稳定性等级评定

Table 4 Assessment of goaf stability level

采空区编号	综合确定度				本文方法	云模型^[4]	物元可拓法
采空区编号	Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ	Ⅳ	本文方法	云模型^[4]	物元可拓法
1	0.0752	0.8959	0.3019	0.0001	Ⅱ（模糊性较高）	Ⅲ	Ⅱ
2	0.0188	0.3491	0.6984	0.0996	Ⅲ（模糊性较高）	Ⅲ	Ⅲ
3	0.5377	0.1873	0.1951	0.0026	Ⅰ（模糊性高）	Ⅰ	Ⅰ
4	0.0427	0.5167	0.5871	0.0677	Ⅲ（模糊性高）	Ⅲ	Ⅲ
5	0.1441	0.6955	0.3842	0.0851	Ⅲ（模糊性高）	Ⅱ	Ⅲ
6	0.0131	0.1272	0.6066	0.3015	Ⅲ（模糊性高）	Ⅲ	Ⅳ
7	0.0006	0.1206	0.2265	0.6711	Ⅳ（模糊性较高）	Ⅳ	Ⅳ
8	0.0042	0.3621	0.7469	0.0925	Ⅲ（模糊性较高）	Ⅲ	Ⅲ
9	0.1105	0.8319	0.2301	0.0144	Ⅱ（模糊性较高）	Ⅱ	Ⅱ
10	0.0810	0.8760	0.2301	0.0144	Ⅱ（模糊性较高）	Ⅱ	Ⅱ

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由表4可知，采空区1、9和10稳定性等级属于等级Ⅱ，采空区2、4、5、6和8属于等级Ⅲ，采空区3属于等级Ⅰ，采空区7属于等级Ⅳ，每个采空区的模糊熵均较大。本文基于变权联系云的采空区稳定性评价二维模型，在采空区1和5的评价结果与云模型评价结果存在一定的差别；在采空区6的评价结果与物元可拓法评价结果存在一定的差别；其他采空区的评价结果基本一致，表明所使用的评价模型是合理科学的。然而，采用不同评价方法对相同指标体系进行评价时，往往会产生不同的结果，其主要原因是各等级综合确定度的模糊熵较大且各指标权重不尽相同。本文所使用的模型能够对指标等级界限处确定度进行控制，使其在两相邻等级的确定度相同，并考虑到等级两端指标的实际分布特征，将远离中间等级联系云的两端等级联系云半区间处理成确定度为1的均匀分布；在传统评价方法中，仅根据最大隶属度原则，从等级确定度一个维度来确定采空区的稳定性等级，可能会造成评价结果失真。将模糊熵引入采空区的稳定等级评价中，利用模糊熵来分析等级评价结果的复杂度，构成一个等级和复杂度的二维评价模式，从宏观与微观角度描述采空区的稳定性情况；使用变权理论对权重进行调整，凸显指标值变化对权重的影响，从而保证即使在“状态失衡”的条件下也能使评价结果准确可靠。

4 结论

（1）针对当前采空区稳定性指标和评级结果存在随机模糊性等问题，利用联系云模型对等级转换态势的模糊性和指标确定性、不确定性进行统一的定量描述，解决了传统云模型的等级云呈无限正态区间的缺陷，更加符合采空区实测指标数据的实际分布特征。将模糊熵作为第二维评判系统，从微观层面上刻画采空区稳定性的复杂度，全面反映采空区真实情况。

（2）运用博弈论将主、客观权重进行线性组合得到的组合常权权重，可以弥补使用单一权重的缺陷，即过分依赖决策者的主观判断或过分依靠样本客观信息；在此基础上引入变权理论，根据不同状态变权向量对权重进行调整，更好地反映采空区危险指标值对采空区稳定性的影响。

（3）通过实例应用以及与其他方法进行对比，表明该方法是合理可行的，能够为采空区稳定性以及类似工程的稳定性问题提供一定的参考。

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

汪伟，罗周全，熊立新，等.

基于改进物元可拓模型的采空区稳定性评价

[J].安全与环境学报，2015，15（1）：21-25.