考虑水平荷载的采空区群系统灾变失稳模型

doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2019.03.368

考虑水平荷载的采空区群系统灾变失稳模型

谢学斌^,, 熊胡晨^,, 谢和荣, 李建坤, 田听雨

中南大学资源与安全工程学院，湖南长沙 410083

Catastrophic Instability Model of Goaf Group System Considering Horizontal Loads

XIE Xuebin^,, XIONG Huchen^,, XIE Herong, LI Jiankun, TIAN Tingyu

School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, Hunan, China

通讯作者: 熊胡晨（1994-），男，江西南昌人，硕士研究生，从事岩土工程方面的研究工作。ytgcxhc@163.com

收稿日期: 2018-06-10 修回日期: 2018-11-07 网络出版日期: 2019-07-08

Received: 2018-06-10 Revised: 2018-11-07 Online: 2019-07-08

作者简介 About authors

谢学斌（1968-），男，湖南祁东人，教授，从事岩土工程、采矿工程和安全工程方面的科研和教学工作xbxie@csu.edu.cn , E-mail：xbxie@csu.edu.cn

摘要

为了研究采空区群系统的灾变失稳，将顶板简化为弹性薄板，矿柱简化为在长期荷载作用下会产生蠕变损伤的Poynting-Thomson体，考虑水平荷载和竖直荷载的共同作用，结合流变理论和燕尾突变建立采空区群顶板—矿柱系统灾变失稳模型。计算出模型突变时顶板中心的下沉量，矿柱有效支撑面积与顶板面积的比值，以及模型从开始到发生突变的时间，以广西盘龙铅锌矿为工程实例进行验证，得出盘龙矿采空区群系统的稳定时间与实际情况相符，验证了该模型的可靠性和实用性。同时，研究了各影响因素对采空区群系统稳定性的影响，为采空区群系统稳定性分析提供了新思路和新方法。

关键词： 水平荷载 ; 燕尾突变 ; 蠕变损伤 ; 流变理论 ; 采空区群 ; 灾变失稳模型

Abstract

The underground mining of the mine has formed a large number of goaf groups，when these goaf groups reach a certain scale，it is likely to generate large-scale catastrophic ground pressure activities，and cause huge losses.Therefore，the stability analysis of the goaf group system is of great significance for the safe production of mines. In order to study the catastrophic instability of the goaf group system，the roof and the pillar are simplified as an elastic plate and a Poynting-Thomson body with creep damage under long-term loads，respectively.Considering the combined effect of horizontal and vertical loads，the catastrophic instability model of roof-pillar system in goaf group is established by combining rheological theory with swallowtail catastrophe.Due to the creep damage and weathering of the pillar，the effective support area of the pillar is gradually reduced，the center subsidence of the roof is gradually increased.When the center disturbance of the roof is increased to a certain value，the connection type of the roof is changed from fixed end to simple support，the stage when the connection type of the roof is fixed end is named the first stage.When the center disturbance of the roof is then increased to another value，the connection type of the roof is changed from simple support to free end，the stage when the connection type of the roof is simple support is named the second stage.And the stage when the connection type of the roof is free end is named the third stage.When the effective support area of the pillar is reduced to a certain value，the catastrophic instability of the model will happen.Supposed the model is in the first stage，the center subsidence of the roof when the catastrophe happens was calculated by using swallowtail catastrophe theory. By combining the rheological theory the stage when the catastrophe of the model happens can be judged，and then the ratio of pillar effective support area to roof area when the catastrophe happens was calculated.Finally the time from the start to the occurrence of catastrophe can be calculated by using the rheological theory.According to the ratio of pillar effective support area to roof area，the criterion for the catastrophic instability of the model was drawn from the calculation results，which provides a basis for the safe mining of the pillar.It is validated with the project example of the Panlong lead-zinc mine in Guangxi.The settling time of the goaf group system is consistent with the actual situation，which verifies the reliability and practicality of this model.The influence of horizontal loads，roof size，roof bending stiffness，roof thickness，vertical loads and initial elastic modulus of the pillar on the stability of the goaf group system is studied，which provides a new idea and method for the stability analysis of the goaf group system.The research shows that when roof size and vertical loads increase，the center subsidence of the roof gradually decreases and the ratio of pillar effective support area to roof area gradually increases when the catastrophe happens，the settling time of the goaf group system gradually decreases.When lateral pressure coefficient，roof bending stiffness and roof thickness increase，the center subsidence of the roof gradually increases and the ratio of pillar effective support area to roof area gradually decreases when the catastrophe happens，the settling time of the goaf group system gradually increases.When initial elastic modulus of the pillar increases，the center subsidence of the roof has no change and the ratio of pillar effective support area to roof area gradually decreases when the catastrophe happens，the settling time of the goaf group system gradually increases.

Keywords： horizontal loads ; swallowtail catastrophe ; creep damage ; rheological theory ; goaf group ; catastrophic instability model

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本文引用格式

谢学斌, 熊胡晨, 谢和荣, 李建坤, 田听雨. 考虑水平荷载的采空区群系统灾变失稳模型[J]. 黄金科学技术, 2019, 27(3): 368-377 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2019.03.368

XIE Xuebin, XIONG Huchen, XIE Herong, LI Jiankun, TIAN Tingyu. Catastrophic Instability Model of Goaf Group System Considering Horizontal Loads[J]. Gold Science and Technology, 2019, 27(3): 368-377 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2019.03.368

矿山地下开采形成了大量的采空区群，当这些采空区群达到一定规模后，很可能会产生大面积的灾害性地压活动，进而造成巨大损失。因此，开展采空区群系统的灾变失稳研究对于矿山安全生产具有重要意义。目前，国内外学者采用理论分析^[1,2,3]、数值模拟^[4]、室内实验^[5]和现场监测^[6,7]等方法对采空区群进行了大量研究。由于采空区群系统的稳定性主要由顶板和矿柱这2个基本要素决定^[8]，所以许多研究中将采空区群简化为顶板—矿柱模型。高明仕等^[9]将顶板和矿柱均视为弹性体，建立了煤柱失稳冲击破坏的尖点突变模型；张钦礼等^[10]将顶板视为坚硬固支梁，将矿柱视为弹性体，建立了采场破坏失稳的尖点突变模型；贺广零等^[11]将顶板视为弹性薄板，将矿柱视为温克尔弹性地基，建立了采空区煤柱—顶板系统失稳的尖点突变模型；Ma等^[12]将顶板视为弹性薄板，将矿柱视为开尔文体，建立了大型采空区塌陷的力学模型；王金安等^[13]将顶板视为弹性薄板，将矿柱视为伯格斯体，建立了采空区顶板破坏的流变力学模型。

综上所述，前人对采空区群顶板—矿柱模型稳定性的研究尚存在以下不足：（1）虽然对采空区群顶板—矿柱模型的研究较多，但大多数只考虑竖直方向的荷载，很少考虑水平方向的荷载，所以研究结果与工程实际存在一定的差异；（2）众多研究中将矿柱视为流变模型，研究矿柱的流变特性，而很少考虑矿柱在长期荷载作用下产生的蠕变损伤；（3）多数研究中使用的突变模型是尖点突变模型，很少使用其他突变模型。

本文所研究采空区群顶板的厚度小于长度和宽度的1/5，因此将其视为弹性薄板，同时将矿柱视为在长期荷载作用下会产生蠕变损伤的Poynting-Thomson体，考虑水平荷载和竖直荷载的共同作用，结合燕尾突变和流变理论建立采空区群顶板—矿柱系统灾变失稳模型，并以广西盘龙铅锌矿为工程实例进行验证。

1 考虑矿柱蠕变损伤的采空区群顶板—矿柱系统的流变模型

1.1 模型构建

本文将采空区群顶板简化为长2a、宽2b的弹性薄板，以薄板中心作为原点建立直角坐标系，如图1（a）所示。将矿柱简化为Poynting-Thomson体，并考虑其在长期荷载作用下产生的蠕变损伤，其模型如图1（b）所示，建立水平荷载和竖直荷载共同作用下的采空区群顶板—矿柱系统的流变模型，如图1（c）所示。

图1

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图1 采空区群顶板—矿柱模型

Fig.1 Roof-pillar model of goaf group

矿柱的本构关系^[14]为

\begin{array}{l} \frac{η}{E_{2}} \frac{d σ}{d t} + σ = \frac{E_{1} + E_{2}}{E_{2}} [1 - D^{'} (t)] η \frac{d ε}{d t} \\ + E_{1} ε [1 - D^{'} (t)] \end{array}

（1）

式中：D^ʹ(t)为t时刻的损伤变量，其表达式^[15]为

D^{'} (t) = \frac{E_{0} - E_{\infty}}{E_{0}} (1 - e^{- α t})

（2）

式中：E₀为矿柱的初始弹性模量； $E_{\infty}$ 为矿柱稳定时的弹性模量；α为材料参数。

1.2 考虑水平荷载的顶板扰度计算

当薄板同时受水平方向和竖直方向的荷载时，其控制方程^[16]为

D \nabla^{4} ω + λ σ = q + h \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}} \frac{\partial^{2} ω}{\partial x^{2}} + h \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} \frac{\partial^{2} ω}{\partial y^{2}} - 2 h \frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y} \frac{\partial^{2} ω}{\partial x \partial y}

（3）

式中：D为顶板的抗弯刚度；ω为顶板的扰度；λ为矿柱有效支撑面积与顶板面积之比；σ为作用在矿柱上的应力；q为顶板自重与上覆岩层荷载共同作用下的均布荷载；h为顶板厚度；∂²F/∂x²为y方向上的主应力；∂²F/∂y²为x方向上的主应力；∂²F/∂x∂y为剪应力，其值为0，假设顶板在水平方向和竖直方向上所受的荷载均为均布荷载，且水平方向的荷载在x方向与y方向的主应力相等，那么其值等于ξq，其中ξ为侧压力系数。

由此式（3）可简化为

D \nabla^{4} ω + λ σ = q + h ξ q \nabla^{2} ω

（4）

式（4）左右两边均对时间求导可得：

D \nabla^{4} \frac{d ω}{d t} + λ \frac{d σ}{d t} = h ξ q \nabla^{2} \frac{d ω}{d t}

（5）

由式（5）乘以η/E₂再加上式（4）并联立式（1）可得：

\begin{array}{l} \frac{η}{E_{2}} D \nabla^{4} \frac{d ω}{d t} + D \nabla^{4} ω + λ [1 - D^{'} (t)] (\frac{E_{1} + E_{2}}{E_{2}} η \frac{d ε}{d t} + E_{1} ε) \\ = q + h ξ q \nabla^{2} ω + \frac{η}{E_{2}} h ξ q \nabla^{2} \frac{d ω}{d t} \end{array}

（6）

设顶板扰度ω的表达式为

ω = ω_{0} f (x, y)

（7）

式中：ω₀为顶板的最大扰度，即顶板中心的扰度。

将式（7）代入式（6）并联立 $ε = \frac{ω}{H}$ 可得：

\begin{array}{l} \frac{η}{E_{2}} D \frac{d ω_{0}}{d t} \nabla^{4} f + D ω_{0} \nabla^{4} f + (\frac{E_{1} + E_{2}}{E_{2}} η \frac{d ω_{0}}{d t} + E_{1} ω_{0}) \\ \frac{λ f}{H} [1 - D^{'} (t)] = q + h ξ q ω_{0} \nabla^{2} f + \frac{η}{E_{2}} h ξ q \frac{d ω_{0}}{d t} \nabla^{2} f \end{array}

（8）

式中：H为矿柱的初始高度。

对式（8）采用伽辽金法求解可得：

\overset{a}{\int_{- a}} \overset{b}{\int_{- b}} \{\begin{array}{l} \frac{η}{E_{2}} D \frac{d ω_{0}}{d t} \nabla^{4} f + D ω_{0} \nabla^{4} f + \\ \frac{λ f}{H} [1 - D^{'} (t)] (\frac{E_{1} + E_{2}}{E_{2}} η \frac{d ω_{0}}{d t} + E_{1} ω_{0}) \\ - q - h ξ q ω_{0} \nabla^{2} f - \frac{η}{E_{2}} h ξ q \frac{d ω_{0}}{d t} \nabla^{2} f \end{array}\} f d x d y = 0

（9）

令：

\{\begin{array}{l} r_{1} = \overset{a}{\int_{- a}} \overset{b}{\int_{- b}} D f \nabla^{4} f d x d y \\ r_{2} = \overset{a}{\int_{- a}} \overset{b}{\int_{- b}} h ξ q f \nabla^{2} f d x d y \\ r_{3} = \overset{a}{\int_{- a}} \overset{b}{\int_{- b}} \frac{f^{2}}{H} d x d y \\ r_{4} = \overset{a}{\int_{- a}} \overset{b}{\int_{- b}} q f d x d y \end{array}

（10）

那么式（9）可简化为

\begin{matrix} [\frac{η}{E_{2}} r_{1} + λ \frac{E_{1} + E_{2}}{E_{2}} η A (t) r_{3} - \frac{η}{E_{2}} r_{2}] \frac{d ω_{0}}{d t} \\ + [r_{1} + λ E_{1} A (t) r_{3} - r_{2}] ω_{0} = r_{4} \end{matrix}

（11）

令：

\{\begin{matrix} g (t) = \frac{r_{1} + λ E_{1} A (t) r_{3} - r_{2}}{\frac{η}{E_{2}} r_{1} + λ \frac{E_{1} + E_{2}}{E_{2}} η A (t) r_{3} - \frac{η}{E_{2}} r_{2}} \\ h (t) = \frac{r_{4}}{\frac{η}{E_{2}} r_{1} + λ \frac{E_{1} + E_{2}}{E_{2}} η A (t) r_{3} - \frac{η}{E_{2}} r_{2}} \end{matrix}

（12）

那么式（11）可简化为

\frac{d ω_{0}}{d t} + g (t) ω_{0} = h (t)

（13）

解得：

ω_{0} = e^{- \int g (t) d t} \int h (t) e^{\int g (t) d t} d t + C e^{- \int g (t) d t}

（14）

1.3 求解积分常数及顶板破坏时间

顶板边缘在破坏之前可以看作是四边固支，此时的边界条件为 $ω |_{x = \pm a} = 0$ ， $ω |_{y = \pm b} = 0$ ， $\frac{\partial ω}{\partial x} |_{x = \pm a} = 0$ ， $\frac{\partial ω}{\partial y} |_{y = \pm b} = 0$ 。

近似假设：

f (x, y) = \frac{{(x^{2} - a^{2})}^{2} {(y^{2} - b^{2})}^{2}}{a^{4} b^{4}}

（15）

根据弹性力学中的薄板理论^[17]和式（4）可得顶板的控制方程为

D \nabla^{4} ω + k ω = q + h ξ q \nabla^{2} ω

（16）

式中：k为矿柱的等效弹性系数，其表达式为

k = \frac{λ E_{0}}{H}

（17）

联立式（7）、式（15）和式（16），并采用伽辽金法求解可得顶板初始最大扰度：

{ω_{0}}^{'} = \frac{441 q}{128 [2 k + 6 h ξ q (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}) + 9 D (\frac{7}{a^{4}} + \frac{4}{a^{2} b^{2}} + \frac{7}{b^{4}})]}

（18）

当时间t=0时，联立式（10）、式（12）、式（14）、式（15）和式（18）可以求出积分常数C=C₁。

矿柱的蠕变损伤及风化导致矿柱有效支撑面积逐渐减小，顶板的中心扰度ω₀逐渐增大，此时当ω₀满足式（19）时顶板由四边固支变为四边简支^[18]，将顶板为四边固支时的阶段命名为阶段Ⅰ。联立式（10）、式（12）、式（14）、式（15）和式（19）可以求出此阶段的持续时间t=t₁。

ω_{0} \geq \frac{[σ_{T}] a^{2} h^{2}}{48 D}

（19）

顶板为四边简支时的边界条件为 $ω |_{x = \pm a} = 0$ ， $ω |_{y \pm b} = 0$ ， $\frac{\partial^{2} ω}{\partial x^{2}} |_{x = \pm a} = 0$ ， $\frac{\partial^{2} ω}{\partial y^{2}} |_{y = \pm b} = 0$ 。

近似假设

f (x, y) = c o s \frac{π x}{2 a} c o s \frac{π y}{2 b}

（20）

此时当ω₀满足式（21）时顶板由四边简支变为自由边^[18]，将顶板为四边简支时的阶段命名为阶段Ⅱ。假设阶段Ⅱ开始的时间t=0，联立式（10）、式（12）、式（14）、式（19）和式（20）可以求出积分常数C=C₂，联立式（10）、式（12）、式（14）、式（20）和式（21）可以求出此阶段的持续时间t=t₂。

ω_{0} \geq \frac{2 a^{2} b^{2} h^{2} [σ_{T}]}{3 (b^{2} + a^{2} ν) π^{2} D}

（21）

当顶板变为自由边之后，其应变能完全释放，并全部压在矿柱之上，此时矿柱还有一定的支撑能力，顶板并未完全塌陷，将顶板为自由边的阶段命名为阶段Ⅲ。

近似假设

f (x, y) = 1

（22）

假设阶段Ⅲ开始的时间t=0，联立式（10）、式（12）、式（14）、式（21）和式（22）可以求出积分常数C=C₃。

2 采空区群顶板—矿柱系统的燕尾突变模型

为了研究采空区群顶板—矿柱系统的灾变失稳，建立采空区群顶板—矿柱系统的燕尾突变模型并对其进行分析。采空区群顶板—矿柱系统的总势能为顶板的弯曲应变能（U₁）与矿柱的压缩应变能（U₂）之和，再减去水平荷载和竖直荷载所做的功（W），其中^[3,19]：

U_{1} = β {ω_{0}}^{2} = \{\begin{array}{l} \frac{D {ω_{0}}^{2}}{2} \overset{a}{\int_{- a}} \overset{b}{\int_{- b}} {(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}})}^{2} d x d y (固 支) \\ \frac{D {ω_{0}}^{2}}{2} \overset{a}{\int_{- a}} \overset{b}{\int_{- b}} {(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}})}^{2} + 2 (1 - ν) \\ [{(\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y})}^{2} - \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}] d x d y (简 支) \end{array}

（23）

U_{2} = λ \overset{a}{\int_{- a}} \overset{b}{\int_{- b}} \overset{ω}{\int_{0}} σ d x d y d ω

（24）

W = \overset{a}{\int_{- a}} \overset{b}{\int_{- b}} q ω + \frac{h ξ q}{2} \nabla^{2} ω d x d y

（25）

矿柱的应力—应变关系^[20]可表示为

σ = E_{0} ε e^{- \frac{ε}{ε_{1}}}

（26）

式中：ε₁为应力—应变关系曲线中峰值点的应变。为简化计算，将式（26）进行泰勒展开并截取至四次项，可得：

σ = E_{0} ε - \frac{E_{0}}{ε_{1}} ε^{2} + \frac{E_{0}}{2 {ε_{1}}^{2}} ε^{3} - \frac{E_{0}}{6 {ε_{1}}^{3}} ε^{4}

（27）

所以模型的势函数为

V = a_{5} {ω_{0}}^{5} + a_{4} {ω_{0}}^{4} + a_{3} {ω_{0}}^{3} + a_{2} {ω_{0}}^{2} + a_{1} ω_{0}

（28）

式中：

\{\begin{array}{l} a_{1} = - q \overset{a}{\int_{- a}} \overset{b}{\int_{- b}} f d x d y \\ a_{2} = \frac{λ E_{0}}{2 H} \overset{a}{\int_{- a}} \overset{b}{\int_{- b}} f^{2} d x d y + β - \frac{h ξ q}{2} \overset{a}{\int_{- a}} \overset{b}{\int_{- b}} \nabla^{2} f d x d y \\ a_{3} = - \frac{λ E_{0}}{3 H^{2} ε_{1}} \overset{a}{\int_{- a}} \overset{b}{\int_{- b}} f^{3} d x d y \\ a_{4} = \frac{λ E_{0}}{8 H^{3} {ε_{1}}^{2}} \overset{a}{\int_{- a}} \overset{b}{\int_{- b}} f^{4} d x d y \\ a_{5} = - \frac{λ E_{0}}{30 H^{4} {ε_{1}}^{3}} \overset{a}{\int_{- a}} \overset{b}{\int_{- b}} f^{5} d x d y \end{array}

（29）

式（28）可简化为

V = a_{5} (u^{5} + p_{1} u^{3} + p_{2} u^{2} + p_{3} u)

（30）

式中：

\{\begin{array}{l} u = ω_{0} + \frac{a_{4}}{5 a_{5}} \\ p_{1} = \frac{a_{3}}{a_{5}} - \frac{2 {a_{4}}^{2}}{5 {a_{5}}^{2}} > 0 \\ p_{2} = \frac{a_{2}}{a_{5}} + \frac{4 {a_{4}}^{3}}{25 {a_{5}}^{3}} - \frac{3 a_{3} a_{4}}{5 {a_{5}}^{2}} \\ p_{3} = \frac{a_{1}}{a_{5}} - \frac{3 {a_{4}}^{4}}{125 {a_{5}}^{4}} + \frac{3 a_{3} {a_{4}}^{2}}{25 {a_{5}}^{3}} - \frac{2 a_{2} a_{4}}{5 {a_{5}}^{2}} \end{array}

（31）

式（30）就是采空区顶板—矿柱灾变失稳的燕尾突变模型的势函数，其平衡曲面为

5 u^{4} + 3 p_{1} u^{2} + 2 p_{2} u + p_{3} = 0

（32）

燕尾突变的分叉集除了需要满足式（32）外，还需满足

20 u^{3} + 6 p_{1} u + 2 p_{2} = 0

（33）

联立式（32）和式（33）可得：

\{\begin{array}{l} p_{2} = - 10 u^{3} - 3 p_{1} u \\ p_{3} = 15 u^{4} + 3 p_{1} u^{2} \end{array}

（34）

由于通过式（32）和式（33）消去u求出分叉集的解析式非常困难，所以把p₁看作常数，把u看作参数，根据式（34）画出一条分叉集曲线，当p₁依次取不同的数值时，就能得到完整的燕尾突变分叉集曲面，如图2所示。

图2

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图2 燕尾突变的分叉集曲面图

Fig.2 Bifurcation surface diagram of swallowtail catastrophe

本文中p₁>0，所以当λ满足式（34）时，采空区群顶板—矿柱系统就会发生突变^[21,22]。

当突变处于阶段Ⅰ时，联立式（15）、式（23）、式（29）、式（31）和式（34）可以求出突变时λ=λ₁、ω₀=ω₀₁，联立式（10）、式（12）、式（14）和式（15）可以求出从阶段Ⅰ开始到发生突变的时间t=t₁'。当突变处于阶段Ⅱ时，联立式（20）、式（23）、式（29）、式（31）和式（34）可以求出突变时λ=λ₂、ω₀=ω₀₂，联立式（10）、式（12）、式（14）和式（20）可以求出从阶段Ⅱ开始到发生突变的时间t=t₂'。当突变处于阶段Ⅲ时，联立式（22）、式（23）、式（29）、式（31）和式（34）可以求出突变时λ=λ₃、ω₀=ω₀₃，联立式（10）、式（12）、式（14）和式（22）可以求出从阶段Ⅲ开始到发生突变的时间t=t₃'。

3 采空区群顶板—矿柱系统灾变失稳模型的算法流程

假设模型最开始处于阶段Ⅰ，运用燕尾突变理论计算出模型突变时的顶板下沉量ω₀，结合流变理论判断出模型突变的阶段，并计算出突变时矿柱有效支撑面积与顶板面积之比λ，最后运用流变理论计算出模型从开始到发生突变持续的时间t。具体求解过程如图3所示。

图3

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图3 算法流程图

Fig.3 Algorithm flow chart

4 工程实例

广西盘龙铅锌矿位于广西来宾市武宣县城南方向12 km处，矿区出露地层包括碎屑岩、白云岩、泥灰岩和泥岩。矿体及其顶、底板围岩均为白云岩。矿石矿物以闪锌矿和方铅矿为主，属于薄至极厚急倾斜矿体。矿山采用主、副竖井与多斜井联合开拓运输系统，采矿方法为浅孔留矿法，矿山生产能力为3 000 t/d。在-220 m中段16~19线间存在采空区群，该区形状近似矩形，如图4所示。

图4

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图4 采场布置平面示意图

Fig.4 Schematic plan view of stope layout

矿柱模型的蠕变参数可根据文献[23,24]选取如下：E₁=15.4 GPa，E₂ =11.6 GPa，η=3.28 $\times$ 10⁶ MPa·d。通过现场调查及实验折减获得盘龙铅锌矿相关参数^[25]，如表1所示。

表1 盘龙铅锌矿相关参数

Table 1 Related parameters of Panlong lead-zinc mine

参数	数值
顶板长度2a/m	140
顶板宽度2b/m	48
顶板抗弯刚度D/（MPa·m^-3）	1.35 $\times$ 10⁶
顶板容重γ₁/（kN·m^-3）	28.32
顶板厚度h/m	8.5
顶板泊松比ν	0.23
顶板抗拉强度σ_T/ MPa	5.25
顶板上覆岩层容重γ₂/（kN·m^-3）	27
顶板上覆岩层厚度h^ʹ/m	285
矿柱初始高度H/m	32
矿柱初始弹性模量E₀/GPa	27
侧压力系数ξ	0.3
矿柱初始有效支撑面积与顶板面积之比λ	0.5
应力应变曲线中峰值点的应变ε₁	0.0036

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将数据代入式（34）中，求得ω₀₁无实数解，说明阶段Ⅰ不发生突变； $ω_{02} = 0.16 m > \frac{2 a^{2} b^{2} h^{2} [σ_{T}]}{3 (b^{2} + a^{2} ν) π^{2} D} = 0.032 m$ ，说明阶段Ⅱ不发生突变；ω₀₃=0.095 m，λ₃ =0.235。可见，突变处于阶段Ⅲ，突变时顶板中心最大下沉量为9.5 cm，矿柱有效支撑面积为1 579.2 m²。若矿柱有效支撑面积大于1 579.2 m²，采空区群系统处于稳定状态；若矿柱有效支撑面积小于1 579.2 m²，采空区群系统处于失稳状态，需要对采空区进行充填。

将数据代入式（14）中，求得C₁=0.024，t₁=3.6个月；C₂=0.029，t₂=1.7个月；C₃=0.032，t $_{3}^{'}$ =8.3个月。因此，从开始到突变的时间t=t₁+t₂+t $_{3}^{'}$ =13.6个月。通过观察该采空区群可知，在2013年3月至2014年6月之间，采空区群处于稳定状态，之后618、620采场顶板矿体可观测到近水平裂隙并伴有较大地音，矿柱产生裂隙并局部发生冒落现象，通过YSSC型便携式单通道岩体声发射监测仪监测到的声发射事件数较多。采空区群系统实际稳定时间约为16个月（13.6<16），计算结果与实际情况相符，验证了该模型的可靠性和实用性。

5 各影响因素变化对系统稳定性的影响分析

为了研究水平荷载（ξq）、空区群尺寸（a和b）、顶板抗弯刚度（D）、顶板厚度（h）、均布荷载（q）和矿柱初始弹性模量（E₀）对采空区群系统稳定性的影响，以阶段Ⅱ为例进行研究。根据突变的平衡曲面方程式（32）可绘制出各影响因素变化时的ω₀-λ图。如图5和图6所示，图中拐点是采空区群系统的突变点，突变点以下部分为曲线的有效部分。

图5

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图5 各影响因素变化时的ω₀-λ曲线

Fig.5 Curves of ω₀-λ when various influencing factors change

图6

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图6 不同ξ值的ω₀-λ曲线

Fig.6 Curves of ω₀-λ with different values of ξ

从图5中可以看出，当a、b值增大时，突变点的ω₀逐渐减小，λ逐渐增大，且随a、b值的增大λ的变化越来越慢；当D值增大时，突变点的ω₀逐渐增大，λ逐渐减小，且随D值的增大λ的变化越来越快；当h值增大时，突变点的ω₀逐渐增大，λ逐渐减小；当q值增大时，突变点的ω₀逐渐减小，λ逐渐增大，且随q值的增大λ的呈近似线性变化；当E₀值增大时，突变点的ω₀不变，λ逐渐减小，且随E₀值的增大λ变化越来越慢。通过流变理论分析可知，D、h、E₀值越大，采空区群系统稳定的时间越长；a、b、q值越大，采空区群系统稳定的时间越短。

图6为侧压力系数ξ值不同时的ω₀-λ曲线，从图中可以看出，当ξ值增大时，突变点的ω₀逐渐增大，λ逐渐减小。因此，随着ξ的增大，矿柱的有效支撑面积减小到一个更小值时，系统才会发生灾变失稳，系统稳定的时间将会增加。当采空区群系统的矿柱有效支撑面积大于突变点的矿柱有效支撑面积时，系统处于稳定状态，所以随着ξ的增大，回采更多矿柱才会导致矿柱的有效支撑面积减小到突变值，从而导致系统发生灾变失稳。因此，考虑水平荷载时计算出的系统稳定时间更长，系统突变前能回采的矿柱更多。

6 结论

（1）将顶板简化为弹性薄板，矿柱简化为在长期荷载作用下会产生蠕变损伤的Poynting-Thomson体，结合燕尾突变和流变理论建立了在水平荷载和竖直荷载共同作用下的采空区群顶板—矿柱系统灾变失稳模型。

（2）研究了模型灾变失稳的判据，计算出模型突变时顶板中心的下沉量，矿柱有效支撑面积与顶板面积的比值，以及模型从开始到发生突变的时间，并通过工程实例验证了该模型的有效性和实用性。

（3）研究了水平荷载、顶板尺寸、顶板抗弯刚度、顶板厚度、均布荷载q和矿柱初始弹性模量对采空区群系统稳定性的影响，为采空区群系统稳定性分析提供了新思路和新方法。

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

邓高，杨珊 .

基于组合预测与变精度粗糙模糊集的采空区稳定性评价

［J］.黄金科学技术，2017，25（3）：98-107.